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合同于矩阵 矩阵的合同变换 矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为A? B B 定义2：设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得B?P?1Ap，则称A和B相似A? 使得PTAP?B 那么就说，在数域F上B与A合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即P?Q1Q2?Qm。 TT 此时P7?QmTQn?Q1边为一系列初等矩阵的乘积 ?1 TTT若B?PTAP?QmQn?1?Q1AQ1?Qm 则B由A经过一系列初等变换得到。所以 定义3：设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P， A?B，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共A?BB?P?1AP del|?I?B|?det|?I?PAP| ?1 又因为?I为对称矩阵 所以det|?I?P?1AP|?|P?1|?I?A|P| ?|P?1|?|I?A||P | ?|?I?A| 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A与B相似且合同 论：设A，B为特征根均为?1,?2??n，因为A与B实对称矩阵，所以则在n阶正 矩阵，Q,P使得 QAQ?[?1??2] PBP?[?1??n] ?1?1 从而有Q?1AQ?P?1BP PQAQP 1?1 ?B 由Q?1Q?EPP?1?E 从而有PQ?1QP?1?PEP?1?PP?1?E 从而(PQ?1)?1?QP?1 又由于(QP?1)(QP?1)T?QP?1(P?1)TQT ?1 ?1TT ?QP(P)TQ T ?QQ ?QQ?E ?1 ?QP 为正交矩阵 所以A?B且A?B 定时5：两合同矩阵，若即PTAP?B，若A为对称矩阵，则B为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质 证明：A?B即PTAP?B，若对称阵，则AT?A B?(PAP) ?PAP T T TTT ?PTAP ?B 所以B边为对称阵 [注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？ 引理6：对称矩阵相似于对角阵?A的每一个特征根?有秩|?I?A|?n?s，S为?的重数. 证明：任给对称的n阶矩阵A一个特征根?，以其重数以秩|?I?A|?r，则 ?x1??0?????x20????，线性无关的解向量个数为n?r个，即5个 ?r?n?s?n?r?s?|?I?A| ???????????xn??0? 又因属不同特征根的特征向量线性无关 ?n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量 ?n阶对称阵可对角化 从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点， 如对二次型应用 例 求一非线性替换，把二次型 f(x1,x2,x3)?2x1x2?6x2x3?2x1x3 二次型f(x`,x2,x3)矩阵为 ?011???A?10?3 ????1?30?? 对A相同列与行初等变换，对矩阵E，施行列初等变换 ?2?A?1 ????2?1?E?1 ???0?x1??1???x?1?2????0?x3??? ?2??2 ?? 0?3?0 ?? ??30???00101 10?201? ??1 ?1?? 0? ?0 ?6?? 0??1 ??0?1?? ?1???1 1?10 3?? ?1?1 ?01???y1? ??y ?2???y3?? 可把二次型化为标准型 f(x1,x2,x3)?2y1?2y2?6y3 2 2 2 解法（2） 1?2??2 ??A?10?3 ?????2?30???2??1???0 10?2 0? ??2 ??2?? 0??20 ?? 1 ??0??2? 2???0?2?2????2???0??0? 0?120 0??0? ?6?? 此时f(x1,x2,x3)?2z12?此时非线性退化替换为 12 z2?6z3 22 1??1?3??2x?1????z1? 1????? x2?1?1?z2 ??????2???z??x3???00