第5章定积分及其应用习题.docVIP

第五章 定积分及其应用 【内容提要 1．定积分的概念和性质 （1）定积分的定义 设 是定义在 上的函数，在区间 内任意插入 个 分点将其分成 个小区间。 记，，在每个小区间上任取一点 ，下列和式的极限存在，且与小区间的划分及 的选取无关，则称函数 在 上可积，并称该极限值为 在 上的定积分 ，记作，即，其中 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分下限， 称为积分上限， 称为积分区间。 （2）定积分的性质 1）常数因子可以提到积分号外 （ 为常数）。 2）函数代数和的积分等于它们积分的代数和。 3）对任意单个实数 恒有。 4）若在区间 上，被积函数 ，那么 特别地，当 时， 5）如果在区间 上， ，则 ()。 6）记函数 在闭区间 上的最大值和最小值分别为 和 ，则 7）设函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至少存在一点 ，使得 2.定积分的计算 （1）牛顿-莱布尼兹公式 如果函数在区间上连续，且是的任意一个原函数，那么 。 （2）定积分的换元法 设函数在区间上连续，并且满足下列条件： （1），且，； （2）在区间上单调且有连续的导数； （3）当从变到时，从单调地变到。 则有 （3）定积分的分部积分法 设函数和在区间上有连续的导数，则有 3.定积分的应用 实际应用时，通常按以下简化步骤来进行： （1）根据实际情况选取积分变量，并确定相应的积分区间。由于分割的任意性，为简便起见，对省略下标，得，用表示内的任一小区间，并取小区间的左端点为，则的近似值就是以为底，为高的小矩形的面积，即。用微分表示，则有微元 （2）将所有部分量累加起来，便得到所求量的积分表达式，然后计算它的值。 利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法。 1） 定积分在几何上的应用，求平面图形的面积和旋转体的体积。 2） 定积分在物理上的应用，求液体的压力和变力做功。 4.广义积分和函数 （1）广义积分 1）无穷积分 设函数连续，若极限 存在，则称此极限值为函数在无限区间上的无穷积分，记作 ，此时称无穷积分存在或收敛；若极限不存在，就称无穷积分不存在或发散。 类似地，可以定义在无限区间上的广义积分 也可定义在无限区间上的广义积分 2）瑕积分 设函数在内连续，是 的瑕点，有。 若极限 存在，则称此极限值为函数在上的瑕积分或无界函数的广义积分，记作，并称瑕积分收敛，即 若极限不存在，则称瑕积分发散。 （2） 函数 将含参变量的广义积分 称为函数。 【习题解答】 5-1 用定积分表示下列问题中的量纲。 （1）圆的面积； （2）抛物线，直线及轴所围成的图形面积； （3）质量关于时间的减少率为的葡萄糖代谢在到这段时间内减少的质量。 解（1） （2） （3） 5-2 根据定积分的性质比较下列积分的大小。 （1）与 （2）与 （3）与 （4）与 解（1）当时，，所以，从而 （2）当时，，所以，从而 （3）因为，所以 （4）当时，，从而 5-3 求下列导数。 （1）； （2）； （3）由参数方程所确定的函数的导数； （4）由方程确定的函数的导数。 解 （1） （2） （3） （4）方程两边关于求导得 ，即 5-4 计算下列定积分。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8） ； （9）设，求。 解 （1）= （2）= （3）= （4）= （5）令，则= （6）令，则= （7）令，则= （8）= （9）令= 5-5 利用函数的奇偶性计算下列定积分。 （1）； （2）； （3）； （4）。 解（1）因为 为奇函数，所以 （2） （3）因为为奇函数，所以 （4）利用定积分的线性性质可得, 而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0，则 5-6 计算下列定积分。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6）； （7）。 解 （1） （2） （3） （4）= （5）= （6） （7），因为 故 。 5-7 求由下列曲线所围的图形的面积。 （1）及直线所围图形的面积； （2）分割成两部分图形的各自面积； （3）与直线所围图形的面积； （4）轴与直线所围图形的面积。 解 （1）如图4-1所示，解方程组，得交点，所求面积为 图4-