相似三角形的判定与性质知识梳理和例题分析.doc

相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析1．相似三角形的概念：　　在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).　　思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？　　猜想：与相似. 证明：在与中，　　　　∴，.　　过点作，交于点　　在中，，　　，∴.　　又 ，　　∴　　∴，　　∴∽(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为.　　改变点在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2．相似三角形的判定　　定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.　　小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.　　思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？　　已知：在和中，.　　求证：∽.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：在线段(或它的延长线)上截取，过点作，交于点，　　　　　根据前面的结论可得∽.　　　　　∴　　　　　又 ，　　　　　∴　　　　 　∴　　　　　同理：　　　　　∴≌　　　　　∴∽　　相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.　　思考：若，，与是否相似呢？　　相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.　　进一步引申：若，，与是否相似呢？ 不一定　　问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.　　例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：　　(1)，，；　　　 ，，.　　(2)，，；　　　 ，，.　　解：(1)， ∴　　　　　 又 ∴∽　　　　　 问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)　　　　(2)，，　　　　　 ∴　　　　　 与的三组对应边的比不等，它们不相似.　　　　　 问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：)　　例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？　　注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：　　，3；或，；或，.　　注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.　　相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用　　例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.　　　证明：连接 ，.　　　　　在　　　　　　　　　　　　　　　∴∽　　　　　∴.　　例4.已知：如图，在中，于点.　　(1)求证：∽∽；　　(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)　　(3)若，求 .　　(4)若 ，求 .　　分析：(1)利用两角相等证相似；　　　　　(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；　　　　　(3)利用射影定理和勾股定理直接求；　　　　　(4)利用上面的定理和方程求.　　进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.　　例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.　　　 求证：.4．相似三角形的性质　　(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.　　(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.　　(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.　　证明：如果∽，相似比为，那么.　　　　　因此，，.　　　　　从而，.　　　　　同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.　　如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和　　和都是直角三角形，　　并且，　　∽　　　　 　　相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.　　例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.　　解：在和中，，　　　　　　　　又 ∽，相似比为.　　　　的周长为，的面积是 .　　例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.　　(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；　　(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的　 　　值(