求解含直角3角形的椭圆离心率(公开课教案).docVIP

求解含直角三角形的椭圆离心率 高二数学组 陈佳聪 教学目标： 1.深刻理解椭圆定义，牢抓椭圆上点到两焦点距离只和为长轴长这一定义式； 2.充分运用椭圆中各个量之间的关系—— 3.熟练运用直角三角形各边与各角之间的关系； 4.灵活运用基本不等式、三角形正、余弦定理、函数单调性等手段求椭圆离心率 教学重难点： 重 点—— 求一类含直角三角形的椭圆离心率 难 点—— 当直角三角形勾股定理无法适用时，如何根据三角形余弦定理结合函数单调性求解椭圆离心率； 突破方式—— 通过数形结合、师生讨论、“陷阱”构造等方法，逐步剖析问题本质，找到解决问题的线索，逐个突破，以点带面，达到教学目标。 教学过程： 二．典例剖析： 例1.在椭圆内有一点，且，求椭圆离心率取值范围。 【说明】本题意在希望学生通过直角三角形直角顶点的轨迹是一个以斜边为直径的圆的知识点，获得当椭圆内点运动到轴上时得到椭圆的半焦距和短半轴长之间的大小关系，进而得到的结论。 变式1.若椭圆短轴端点为满足， 求椭圆离心率。 【说明】变式1试图让学生用运动的观点，承接例1的解题思路获得点落在短轴端点时，该椭圆半焦距、短半轴长的相等关系，得到的结论。 变式2.在椭圆上有一点，若，求椭圆离心率取值范围。 【说明】本题试图让学生用运动的观点，承接例1与变式1的解题思路获得动点在椭圆上时，进而得到的结论。例1和它的两个变式构成一个体系——所要求离心率的椭圆内含直角三角形，且该直角三角形均是以两焦点所在线段为斜边，为直角。解决此类椭圆的离心率，最快捷的方法就是通过圆的半径与椭圆的短半轴长的大小比较获得答案。此处的教学过程最好结合多媒体辅助教学，让学生从直观上感受到圆半径与椭圆短半轴长的不等量关系，数形结合能让抽象的量化计算变得生动、易懂。 例2.过椭圆右焦点的直线 交椭圆于两点且满足，若，求该椭圆离心率。 【说明】在前面例题1和变式的基础上，将线段拉长和椭圆交于点，此时内含于椭圆的直角三角形发生了一些变化。求解离心率问题不能套用前面的方法了，此时必须抓住椭圆定义式和直角三角形相关性质。解题思路和解题方法都发生了迁移，题目难度有了一定的提升。在解题思维的迁移上，教师需要通过分析和与学生的共同探讨，把难度分解，把梯子放下来，让学生通过理性的分析清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功的喜悦感，激发其学习兴趣。 变式.在椭圆上有一点，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，求该椭圆离心率取值范围。 【说明】本题将例2中点的位置从椭圆上移动到了椭圆之内，此时直角三角形的周长小于，从而得到。同时经过观察发现，此时点到两焦点的距离之和已经小于，如果利用直角三角形的勾股定理获得的范围，则得到的离心率的分子分母都是单调递增的，无法确定离心率的范围。这是一个精心设置的解题方法陷阱，学生往往会因为直接套用例2的解法而掉入该陷阱。教师应该针对学生的失误进行分析、引导，通过讨论逐步发现在另外一个三角形中，边其实可以写成的表达式，于是在中可以利用余弦定理，将表示成关于的表达式，进而可以把离心率表达成一个关于的二次函数，通过的取值范围和二次函数的单调性得到离心率的取值范围，顺利解决问题。 此题的解决过程是本节课的高潮部分，学生的讨论和教师的分析、引领应该采用开放的方式进行，让学生在讨论中自己走出陷阱，灵活调用知识框架的知识点，真正达到提高探究能力的目的。 三．课堂小结： 1.归纳本节课所讨论的内含于椭圆的直角三角形共性——直角顶点在点，三角形的边必经过两焦点； 2.归纳本节课所讨论的椭圆离心率求解方法的共性——抓定义，抓直角三角形边的关系； 3.归纳本节课的探究中所利用到的辅助知识点——三角形余弦定理、基本不等式、而函数单调性； 4.归纳本节课的学习中，易出现的失误——没有利用运动的观点看待椭圆上的直角点，解题过程中思维惯性限制了解题方法的灵活运用。 【说明】此处的归纳教师均要通过将学生的回答加以总结得出，不仅可以将具体的习题教学上升到解题通法的高度，也可以及时检验教学目标的达成程度。比较困难的地方在于放开以后的收回，需要比较高的课堂驾驭能力。 四．课后作业： 1.过椭圆左焦点的直线垂直于轴且交椭圆于点，若，求该椭圆的离心率。 2.过椭圆右焦点的直 线交椭圆于两点，满足，若， 求该椭圆离心率。 3. 是否存在椭圆上一点，满足点与长轴两端点的连线？若存在，求该椭圆离心率；若不存在，请说明理由。 【说明】此处设置了3个练习题，第1、2题是本节课所探究类型的第一步变形，将直角三角形的直角顶点移动到了焦点，其解题思路并未发生大的变化，目的在于让学生体会到边过焦点的直角三角形并不只有本节课所讨论的那么一类；与本节课所讨论的类型相似的第3题同样将直角顶点放在椭圆上的点，可是将直角