线性代数学习指导第三章线性方程组(本章内容重要,大部分都是必须.docVIP

线性代数学习指导 第三章 线性方程组(本章内容重要,大部分都是必须熟练掌握的基本题) (P101) 4.设A为5×4矩阵,且R(A)=3,B=,求AB的秩R(AB). 解:|B|按第2行展开,|B|==-=-2=20≠0,所以B可逆,单位阵E可逆,由本章定理1推论, R(AB)= R(EAB)= R(A)=3. (知识点: 矩阵秩的性质:等价必等秩.) 7. λ为何值时,线性方程组有唯一解?无解?无穷多组解? 解:系数行列式D=. ∴①当λ≠0且λ ≠-3时,R(A)=R(B)=3,方程有唯一解； ②当λ=0时, 增广阵B=, R(A)=R(B)=1,方程有无数多组解； ③λ=-3时, B=, R(A)=2,R(B)= 3, R(A)≠R(B)∴方程有无解. 8.a与b取何值时,方程组有解?有解时求出全部解. 解: 增广阵B= , R(A)=2, 线性方程有解的充要条件为R(B)= R(A),所以当a=0且b=2时, R(B)= R(A)=25(未知数个数), 方程有无数多组解,此时 B,此行最简形对应方程,令,得原方程通解:. (7,8两题给出了讨论线性方程解的情况的两种方法,第一种方法较简单,但只适用于系数阵是方阵的场合.这两题主要知识点是第三章的定理三,定理四). 9.提示:设,即,只需证方程有且只有唯一解. 10.用定理七判断:计算向量构成的矩阵的秩r,若rm(m为向量的个数), 则向量组线性相关;若r=m, 则向量组线性无关. 11.证明:若向量组线性无关,则向量组也线性无关. (证明或判别一组向量的线性相关性,方法一般有两种:(1).用线性相关,线性无关的定义,如证1的方法;(2).用定理7,计算构成的矩阵的秩,如证2的方法.) 证1: 设-------(1)即 ,因为线性无关,所以 (2) ,系数行列式D=,齐次方程(2)只有唯一的零解:x1=x2=…=xm=0. 由线性无关的定义, 知向量组 也线性无关. 证2:构造矩阵B=[], 用初等列变换: B ,线性无关,所以A的秩为m,于是B的秩R(B)=R(A)=m,由定理7知: 线性无关. 13. 设线性无关, 可由它们线性表示,而不能由它们线性表示,证明m+1个向量,线性无关,这里取任意数. 证明:用反证法.假设,线性相关,而线性无关,由定理七推论3, 可由线性表示,已知亦可由线性表示, 推出亦可由线性表示,与已知矛盾. 所以,线性无关 (知识点: 向量组线性相关的充要条件--定理七及其推论) 14. 证明n个n维向量线性无关的充要条件是单位向量可由线性表示. 证明:先证必要性.线性无关, 而为n+1个n维向量,由定理七推论2, 线性相关,于是可由线性表示(定理七推论3),i=1,2,…,n. 所以单位向量可由线性表示. 再证充分性.设单位向量可由线性表示,由定理9, 的秩不大于的秩r, 因线性无关,其秩为n, ∴n≤r,又r不会超过的个数n:r≤n,只有 r=n,所以中有n个线性无关的向量,说明线性无关. (知识点: 定理七推论;向量组的秩与线性相关的联系) 15.此类题为重要的基本题,方法参看教材129页例20,及电子教案(PPT)第三章§5例1,例2. 16. 设有向量组 ,,, . (1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量用线性表示. (2)p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个最大无关组. 解: (1) === =14(p-2). ∴p≠2时, 线性无关. . ∴. (2) p=2时, =0,线性相关. 此时 = ∴秩为3, 线性无关,为一个最大无关组. 17. 设向量组线性相关, 向量组线性无关.问 (1) 能否由线性表示?(2) 能否由线性表示? 解:(1) 能由线性表示.证明: 已知线性无关,所以部分向量线性无关(教材120页例13结论),又由已知线性相关,所以能否由线性表示(定理七推论3). (2) 不能由线性表示. 证明: 用反证法.假设能由线性表示,由(1)题结论,能否由线性表示,于是能由线性表示,得线性相关,与已知矛盾.故得证. 20.21均为解线性方程的基本题,请务必熟练掌握!知识点:矩阵消元法,基础解系,解的结构等. 23.求作一齐次线性方程组,使它的基础??系为. 解:设所求方程为AX=0,则A=0 ,A=0, ∴A[,]=0,两边转置: ,设,则AT的列向量(即A的行向量)为方程BX=0的解. 解BX=0,求得基础解系为,用作为A的行向量: A=,方程AX=0即为所求.