《九章算术》和小学数学教学.docVIP

《九章算术》与小学数学教学 秦末战火后，先秦的大批文献失散，于是在汉代便兴起了发掘、删补、诠释各类文献之风。以张苍、耿寿昌、杜忠、许商、尹咸、刘歆等为代表的一批善用算律历者，不仅对原有的数学、历数等文献进行删补，而且开始注意在进一步传习数学知识的过程中，将疏散于天文、历学、制造、农学等各类文献中的数学知识集约化。首先是张苍，著书八十篇，言阴阳律历事，其后有《杜忠算术》十六卷和《许商算术》二十六卷。作为这类工作的突出成果，在汉代诞生了具有较高集约性并能完全反映当时数学成就的重要著作一一《九章算术》。（一）中国最古老的数学经典著作《九章算术》 《九章算术》成书于东汉初年（大约在公元50年到100年之间），作者不详，但有人认为马续就是《九章算术》的编撰者，证据虽不充分，但这是可能的。它总结了秦以前中国的主要数学成就，书中收集了246个应用问题和各个问题的解法，并将其分为九章，分门别类地予以撰述介绍。据数学史学家考证，算术在西汉时期是数学的代用名词，算字的原意是计算用的竹筹。算术这个词汇的本意应当是运用算筹计算的方法。因为一切繁复的数目计算都要用算筹，所以算术包含当时的全部数学知识和计算技能。因此《九章算术》的九章数学问题就涉及当时社会生产、生活实践中的各种算术、代数、几何等方面的问题。九章的主要内容是：第一章方田：田亩面积的计算。第二章粟米：谷物粮食之间按比例的折算。第三章衰分：比例分配的问题。第四章少广：已知面积、体积，反求其一边的宽广等，专讲开平方、开立方。第五章商功：一些工程（筑城、修堤、开渠、堆粮）的计算，包括求体积。第六章均输：合理摊派赋税。第七章盈不足：盈亏、比例问题的解答。第八章方程：线性方程组的解法，用消元法解答了三元一次方程组，出现了负数。第九章勾股：利用勾股定理求解的各种问题。每章都是先举出问题，然后给出答案，考察一组问题后再给出相应的一种算法，称作术，全书共有202个术（相当并以实际应用题为导引、以计算规律为中心的体例来撰与论，开创了独具一格的数学专著的理论体系（不同于古希腊逻辑演绎的体系），对中国后世的数学发展与数学教学产生了深远的影响。（二）涉及当代小学教育的有关数学内容 《九章算术》汇集和总结了秦汉以前的中国数学成就，集中地体现了当时中国数学领域的最高发展水平。但《九章算术》的编撰者没有撰写那时的基本计算整数四则，所以它并非当时的一本数学启蒙教育著作。但是随着社会的长足进步、数学科学的迅速发展，前期的高深内容，到后期也许会成为大众化的基本内容。 《九章算术》中的一些算术内容，对照今天的教学大纲，就已经成为小学高年级的数学教学内容。这些内容归纳起来有以下几个方面： 1．分数四则及其应用。 《九章算术》中的分数知识（包括约分、通分和加减乘除法则）已是相当完整和系统化了，是当时世界上最系统的分数理论。在方田章的40个问题中，有14个例题说明了分数的四则运算法则。在其他各章还有很多分数应用题。《九章算术》称分数加法为合分，称减法为减分。合分和减分都需通分。方田章的分数加、减法规定了用分母的乘积作公分母，例如其中第7题的计算方法为：第9题的计算方法为：但在少广章里有几个问题，则用最小公倍数作公分母。其中第6题的计算方法为： 分数相乘，叫乘分，方法是用相乘分数的分母相乘作分母，分子相乘作分子。例如方田章第19、24题的计算方法为： 分数除法叫经分，方田章的经分与现在的计算法则不同，它是用通分来计算的。例如其中第18题的计算方法为： 后经刘徽注释，才补充了现在通行的将除数的分子、分母颠倒并与被除数相乘的法则： 应该指出，上述计算过程的书写形式是对原著计算法则的现代表示，实际的计算方式是筹算而不是上述的现代笔算。例如对分数约分，先用筹算求得分母、分子的最大公约数7，其过程如下 的筹式如图1；从91中减去49，余42，如图2；从49中减去42，余7，如图3；从42中连续减去7，第5次余7，如图4。这时被减数和减数相等，得等数7，就是所求的最大公约数。以7除分母和分子，得最简分数 。这种求最大公约数的方法实质上就是现代数学中的辗转相除法。 《九章算术》的均输章还有很多分数应用题。例如第25题：今有程耕，一人一日发（翻土）七亩，一人一日耕（犁田）三亩，一人一日×（播种）五亩。今令一人一日自发、耕、×种之，问治田几何？它的解答方法是：1÷（ ＋ ＋ ）＝7×3×5÷（3×5＋7×5＋7×3）＝105÷71＝ 亩。 这个问题类似于现在小学数学课本中的工程问题，其解法也与现在的解法相似。可见秦汉以前，古人对分数概念的理解已经达到了相当高的水平。2．各种比例问题。 《九章算术》的粟米章一开始就列举了粮食加工中原料