§5 初等矩-阵.pptVIP

;§5 初等矩阵 ;　　一、初等矩阵的概念和简单性质 ;称为第一类初等矩阵（又称换法矩阵）. ;　3、把E的第j 行的k倍加到第i行上，得到初等矩阵 ; 同样可以得到与列变换相对应的初等矩阵，这些工作 留给学生.我们指出，对单位矩阵作一次列初等变换所到 的初等矩阵也包括在上面三类初等矩阵中.因此换法、倍 法、消法初等矩阵是全部初等矩阵. 由于初等变换不改变矩阵的秩，从而把可逆矩阵E成 可逆矩阵，因此初等矩阵是可逆矩阵.直接验证可得： ;命题5.1 初等矩阵皆可逆，其逆矩阵是同类型的初等矩 阵，且 ;矩阵和乘法和初等变换的关系是 ;证明　只证行初等变换的情况，列初等变换的情况类似可证.将A表示成分块 于是 ;这相当于把A的 两行交换. 　　 2）　　　　　　 ;二、矩阵的等价 ;定理5.2　任意一个 矩阵A都与一形如 的矩阵等价，且主对角线上１的个数 等于A的秩．称这个矩阵为A的标准形． ;证明　如果A＝0，结论显然成立．若 ，存 在 ，将A的第 两行交换，然后将j,1两列交换， 所得矩阵的（1，1）元非零，不妨设A中 .把A的 第一行乘 加到第 行上，然后第一列乘 加到第j列上，A化为 ;对 重复以上的讨论并继续下去，就可以得到标准形. 由初等变换不改变矩阵的秩，故标准形中1的个数等于A 的秩. (定理5.2证明完毕）;推论1： 两个 矩阵A、B等价 存在s级可逆矩 阵P和n级可逆矩阵Q，使B=PAQ． 推论2：可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵E ;将上面两式合起来，得 　　 上式表明用一系列的行初等变换把A化成单位矩阵， 用这些初等变换作用于单位矩阵，就可以得到 ． 这样我们得到了一个用行初等变换求逆矩阵的方法. ;;故 　　　　　　. ;探究学习 设AX=B，A可逆，则X= B．可以用下面的方法求X 　　　　　 若XA=B，A可逆，则X=B ．可以用下面的方法求X . ;解　 ;例1?????? 设XA=B，其中 　　　 求X．