泊松方程和拉普拉斯方程概念教程.pptVIP

静电场计算中的两类问题;2.5 泊松方程和拉普拉斯方程;2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程;拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式;四 . 一维泊松方程的求解; 例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2, φ1满足泊松方程, φ2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以φ1、 φ2均是球坐标r的函数。 ;;(1) 分别列出球内、外的电位方程: ; (2) 根据边界条件, 求出积分常数A、B、C、D: 边界条件是: ; ①r=a, φ1=φ2; ; ②r=a, ③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ; ④r=0, (因为电荷分布球对称, 球心处场强E1=0, 即Er=0)。 由上述条件, 确定通解中的常数: ; 例 2 如图所???三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。 ; ［解］设①、 ②、 ③区域的电位函数分别为φ1(y)、φ2(y)、 φ3(y)。 (1) 分别列出三个区域的电位方程。 在①、 ③两个区域内电位满足拉普拉斯方程, 而第②区域的电位满足泊松方程: ;将上面三个方程分别分两次可得;(2) 由边界条件确定常数: 边界条件为: ;③由场分布的对称性, φ2(y)=φ2(-y) ; 由条件②、 ③可得: ;根据公式 ; ※ 场量在不同媒质分界面上各自满足的关系 将场量在分界面上分解成: 法向normal分量 (以下标n表示) ----- 垂直于分界面 切向tangency分量 (以下标t表示) ----- 平行于分界面;两种不同媒质分界面的边界条件;法向边界条件 ;若界面上无自由电荷分布，即在ρS=0时: ; (1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体; 静电场中导体内部电场为零, 故;结论： 在介质交界面上,电场强度的切向分量始终连续;三 . 电位φ满足的边界条件;电场方向在 交界面上的曲折 ;边界条件; 例 1 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电常数为ε2，如图 所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求内外导体之间空间的电位移矢量和电场强度。 ;解： ; 例 3.11 如图所示,两个无限长同轴圆柱, 内、 外导体半径分别为a和b, 两导体间部分填充介电常数为ε的电介质, 内外导体间的电压为U0。图(a)中电介质与空气分界面的半径为c; 图(b)中0＜φ＜φ1间部分填充电介质。试对该二同轴线分别求出: (1) 内、 外导体间的电场强度E及电通量密度D; ; (2) 导体表面上单位长度的带电量ρl。 ; ［解］ 因为同轴圆柱是轴对称结构, 故只有沿半径ρ方向的电场。图(a) 结构中, 电场垂直于介质与空气的交界面, 根据两介质交界面上法向分量电通量密度相等的边界条件, 可知道不同介质内D的表示式相同。而在图(b)结构中, 电场平行于介质与空气交界面, 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件, 得知不同介质内E的表示式相同。 ;a＜ρ＜c时, ;所以;(2) 图(b)结构: 当φ=0时, ;所以 ;作业： 2-8 2-17