证明或判断等差[等比]数列常用方法.docVIP

证明或判断等差（等比）数列的常用方法 湖北省 王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来． 利用等差（等比）数列的定义 在数列中，若（为常数）或（为常数），则数列为等差（等比）数列．这是证明数列为等差（等比）数更最主要的方法．如： 例1．（2005北京卷）设数列的首项，且， 记． （Ⅰ）求；（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）； （Ⅱ），所以， 所以， 猜想：是公比为的等比数列． 证明如下：因为 所以是首项为，公比为的等比数列． 评析：此题并不知道数列的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。 例2．（2005山东卷）已知数列的首项，前项和为，且（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）略． 解：由已知可得时两式相减得:，即，从而， 当时，，所以， 又，所以，从而． 故总有，又，从而． 所以数列是等比数列． 评析：这是常见题型，由依照含的式子再类似写出含的式子，得到的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项的表达式，则较繁． 注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）． 二．运用等差或等比中项性质 是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法． 例3．（2005江苏卷）设数列的前项为，已知，且其中为常数． （1）求与的值；（2）证明数列为等差数列；（3）略． 解：（1）由，得． 把分别代入 ，得 解得，，． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即 ， ① 又． ② ②-①得，， 即． ③ 又． ④ ④-③得，，∴， ∴，又， 因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列． 评析：此题对考生要求较高，通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算． 例4．（高考题改编）正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列． 证明：依题意，，且， ． ． 由此可得．即． 数列为等差数列． 评析：本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决． 三．运算数学归纳法 这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡． 例5．(2004全国高考题)数列的前项和记为，已知，．证明：数列是等比数列． 证明：由，，知， ，猜测是首项为1，公比为2的等比数列． 下面用数学归纳法证明：令. (1)当时，，成立． (2)当时，，成立． 假设时命题成立，即． 那么当时，，命题成立． 综上知是首项为1，公比为2的等比数列． 例6．（2005浙江卷）设点和抛物线其中，由以下方法得到：，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离，，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离． （1）求及的方程．（2）证明是等差数列． 解：（I）由题意得：． 设点是上任意一点，则 令则 由题意：即 又在上， 解得：，故方程为 (II)设点是上任意一点，则 令， 则． 由题意得g，即 又 即 （*） 下面用数学归纳法证明 ①当时， 等式成立． ②假设当时，等式成立，即 则当时，由（*）知 又　　 即当时，等式成立．由①②知，等式对成立．是等差数列． 评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反而不好作． 四．反证法 解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如： 例7．（2000年全国高考（理））设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列． 证明：设的公比分别为，，，为证不是等比数列只需证．事实上， ，又不为零，，故不是等比数列． 评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列，只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性?．?? 五．看通项与前项和法 若数列通项能表示成（为常数）的形式，则数列是等差数列；若通项能表示成(均为不为0的常数，)的形式，则数列是等比数列． 若数列的前项和Sn能表示成 (a，b为常数)的形式，则数列等差数列；若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q≠