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广西教育学院 毕业论文（设计） 论分式方程的增根 491817093@ 论文题目 :_______________________________ 数学与计算机科学系系 系 别 ：______________________________ 数学教育 专 业 ：______________________________ 10级数(1)班 年（班）级 ：______________________________ 100218F01038 学 号 ：______________________________ 庞添耀 学生姓名 ：______________________________ 助教 凌中华 指导教师 ：_______________职称 ：________  PAGE \* MERGEFORMAT 7 目录  TOC \o 1-3 \h \z \u HYPERLINK \l _To摘要2 分式方程为什么出现增根2 2.避免增根的方法3 分式方程的增根的应用3 无解与增根关系的妙用4 5.分式方程有几个增根5 6.个人对“增根”的看法6 7.对学习“增根”的建议7 参考文献7 论分式方程的增根 摘要:课本中指出解分式方程出现增根对初学者来说是不仅一个难点，也是一个易错点，理解和掌握分式方程的增根，对解分式方程有重要意义。本文论述了分式方程为什么出现增根、避免增根的方法、分式方程的增根及其应用、无解与增根关系的妙用、分式方程有几个增根、个人对“增根”的看法以及对学习“增根”的建议。通过一一论述，对学习分式方程的增根有很大的帮助。 关键词：分式方程；增根；重要意义 解分式方程时，把最后的结果代入原分式方程，分母为0时，相应的分式方程就变得毫无意义，即它的解就称之为分式方程的增根。也可以把整式方程的解代入最简公分母时，如果最简公分母的值为0，即是原分式方程的增根。解分式方程出现增根对同学们来说是一个难点，也是一个易错点。了解并掌握分式方程的增根，对同学们解分式方程有所帮助。 1.分式方程为什么会出现增根 其实在解分式方程时，为了把分式方程变为整式方程，去分母时，把的取值范围忽略了，未知数x的取值范围扩大成了全体实数，这样，整式方程的解不一定是原分式方程的解。 例1. 解：为了把分式方程转化为整式方程，在方程两边同时乘以最简公分母，得 ， 解这个整式方程得： 把，代入原方程检验时，很显然，并不是原分式方程的解，他不能使方程两边的值都想等，而是原方程两边的分母都变为0，没有意义。 把分式方程变为整式方程时，有可能出现不同的解，那么又怎样知道是否为分式方程的解。 例2.解分式方程 解：方程两边同时乘以它的最简公分母，整理，得： (x-3)(x+1)=0， 解得或 这两个都是分式方程的解。 检验：把代入原分式方程时，分母不为0，且左边=右边=， 所以是原方程的解。但当时，分母为0，是分式方程的增根，是不是出现增根，方程都没有解。 答案是否定的，因为方程还有一个解，即是原方程的解。 2.避免增根的方法 解分式方程时出现增根，对很多同学来说可能是一个较难理解，但是在解分式方程能否避免增根的出现。 例3.解方程 解：方程两边都减去，得: ， 把左边的通分再减，得： ， 整理得： ， 发现刚好可以约去，得到，解得。 说明：这种解分式方程的方法能有效的避免产生增根。但是这种解题方法过于复杂，解起来比较费劲，不宜采用，还不如解后在检验。 3.分式方程的增根的应用 增根虽然不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解.如上面例1中，分式方程的增根，它虽然不是分式方程的解，但却是去分母后所得整式方程的解。可以抓住这一特性去解决分式方程的有关问题。 例4.已知关于的方程有增根，求k的值。 分析：关于的分式方程有增根，可以得出的值，使分母为0，即=1、.但不能把=1、直接代原方程求解，否则，分母为0，是无法求解的。前面提到增根虽然不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解.所以要先去分母，再把代进去求解。 解：方程的两边同乘以最简公分母，得： 从原分式方程可以看出，可能有两个增根=1和。 当增根为x=1时，代入整式方程，得3- k=0，即k=3； 当增根为x=-2时，代入整式方程，得0-