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解几08_参数方程(学生讲义)
05学年度高三数学第一轮复习讲义 08-参数方程
共 NUMPAGES 4页 第 PAGE 4页
八、参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化及直线的参数方程
【知识提要】
参数方程:在平面直角坐标系中,如果曲线C上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数,并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点P(x,y)都在这条曲线C上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程.变量t叫做参变量或参变数,简称参数.
2.参数方程是曲线方程的另一种形式.在求曲线的方程时,如果曲线上任意一点的坐标之间的直接关系不易求得,但是分别与第三个变量的关系容易建立,那末就可求得曲线的参数方程.
参数方程为进一步探讨直线、圆锥曲线的性质,为研究弹道曲线,旋轮线等常用曲线提供了新的工具。
3.一般情况下,我们通过消去曲线的参数方程中的参数,可以得出这条曲线的普通方程。通过适当选择一个参数,可以把曲线的普通方程化成曲线的参数方程.
4.曲线的参数方程化为普通方程的关键是消参数,消去参数的方法一般有两种:
(1)代入消元,从两个方程(或其中的一个方程)中求出参数用表达的解析式,再代入其中的一个方程,达到消去参数的目的;
(2)利用代数、三角恒等式进行消元.
而对于比较复杂的问题,则需要综合运用两种方法。
在消参数时要注意参数方程与所求得的普通方程的等价性。
5.在求曲线的参数方程时,关键是如何选取适当的参数.参数可以选时间,或选角,或选斜率,或选线段的长,这要根据曲线的性质来考虑.一般地说,被选作参数的量,应满足以下两条:
(1)选定的参数可以确定曲线上一切点的位置.
(2)选定的参数t和x、y的相互关系比较明显,容易列出x、y和t的关系.
6.直线的参数方程:(t?R) 或 (t?R)的形式
【例题】
例1、把下列曲线的参数方程化为普通方程。
(1) (为参数,);
(2)(为参数);
(3) (为参数,);
(4) (为参数,);
(5) (为参数,);
(6) (为参数,).
例2、根据指定的参数,将下列普通方程化为参数方程:
(1) ,其中;
(2) ,其中;
(3) ,其中x=a sect,t为参数;
(4) x2+y2-4x=0 (x≠0),以经过原点的直线的斜率k为参数.
解:
例3、选择参数,把直线的点斜式方程
化成参数方程.
例4、已知参数方程,(均不为,)求:分别以为参数时,此参数方程表示什么曲线?
例5、若直线的参数方程是,则过点,且与平行的直线在轴上的截距是 .
例6、直线 (为参数)的倾斜角为……… ( )
(A) (B) (C) (D)
例7、已知直线(为参数)与曲线相交于两点,
例8、求抛物线的顶点轨迹的参数方程。
例9、当复数在复平面内的对应点在函数的图像上运动时,求复数在复平面内对应点的轨迹的参数方程。
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