花拉子米和二次方程.docVIP

十四、最早发现二次方程求根公式 二次方程的求根公式也是中国最早发现的。中国古代数学家赵爽，在对中国古典天文著作《周髀算经》做出注解时，写了一篇有很高科学价值的《勾股圆方图》的注文，在此文中赵爽在讨论二次方程x2-2cx+a2 = 0时，用到了以下的求根公式： 这个公式与我们今天采用的求根公式是很相似的。赵爽这一发现，比印度数学家婆罗门笈多（公元628年）提出的二次方程求根公式要早许多年。 [追根究底] “一元二次方程求根公式”探源 一元二次方程的求根公式是中国最早得出的．三国时期的赵爽对古代著名的《周脾算经》做注释时，曾写了一篇很有价值的“勾股圆方图”的注文.在此文中，赵爽讨论方程时，用到了求根公式，与我们现在用的求根公式基本上是一致的．这个成果比印度数学家婆罗门芨多在公元七世纪提出的二次方程求根公式要早许多年．我国在《九章算术》的“勾股章”中，也涉及到二次方程的普遍解法．在欧洲，过了一千多年才由法国数学家获得类似的结果． 古代位于美索不达米亚的古国巴比伦，对天文、历法很有研究，因此算术和代数比较发达.巴比伦人提出了一个代数问题：求出一个数，使它和它的倒数的和等于已知数，用现代的记号，就是求出这样的，使得，从这个方程可以得出，他们求 出后，在求得，然后写出解答：和．不过 当时巴比伦人不知道负数，对负根略而不提． 埃及的纸草文书中曾涉及到最简单的二次方程，阿拉伯人用代数方法解方程，然后用几何图形说明步骤的合理性，显示了代数与几何的统一．中世纪中亚细亚数学家阿尔·花拉子模写的《代数学》一书，在好几个世纪内被作为代数的基础教科书，其中包括了解二次方程的基本方法，承认二次方程有两根．但它们对于求根公式的应用远远落后于中国． 2.3 基于“历史发生原理”的教学实践研究 斯宾塞认为：“对孩子的教育在方式和顺序上都必须符合历史上人类的教育，换言之，个体知识的发生必遵循人类知识的发生过程。我们相信，这一理论是由孔德提出来的——我们可以接受该理论，而无需诉诸他的知识发生理论，不论是就其原因，还是就其次序。” 海克尔（E. Haeckel, 1834-1919）生物发生学定律——“个体发育史重蹈种族发展史”在教育中的应用：“个体认知的发生遵循人类认知发展的过程。”就数学教育而言，个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序。 所以，在教授数学学科时，如果能考虑历史发展过程中的某些基本事实，有助于学生更好地理解这门学科，而且有助于预测学生在学习过程中可能出现的错误和遇到的困难。若能利用这一点进行教学设计，可以帮助学生更好地理解和接受所要学习的知识。 例如：在学习“一元二次方程的解法”这一内容时，笔者尝试了《一元二次方程的解法》这一融入了数学史的拓展课教学。教学过程简述如下： 解一元二次方程的基本思路是降次。从历史上来看，早在12世纪，印度数学家婆什迦罗（Bhāskara, 1114～1185）在其《丽罗娃蒂》中已经表达了这一思路：在一元二次方程两边乘以某数，再在两边加上某数，使得方程一边为完全平方，另一边为常数，从而开方得方程的根。由于全日制义务教育《数学课程标准》提出在教学中应“介绍有关代数内容的几何背景”，“注重数学知识之间的联系”，我们可以从花拉子米的平方法入手。 例1、解方程。 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米（Al-Khwarizmi, 780?～850?）在他的名著《代数学》中解过这个一元二次方程，不过他把方程写成的形式。教师可告诉学生，在当时，人们还不能接受负数，因此，人们并不把方程写成一边等于零的形式。方程的书写往往以不出现负系数为准，如，，（，），也不考虑负根（方程被看成没有意义，因为它的两个根均为负数）。花拉子米把方程左边看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（长为x，宽为5）构成的矩尺形，它的面积为39，如图1所示。于是只要在这个图形上添加一个边长为5的正方形，即可得到一个完整的正方形，这个正方形的面积为39+52=64。于是知它的边长为8，因而得方程的正根x = 3。 图 1 图 2 引导学生把这个过程用代数语言写出来，就是：? ? ?? ?或-13。 教师适时地告诉学生：上述解一元二次方程的方法叫配方法：将常数项移到方程右边，两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方，然后直接开方。接着，让学生用配方法解一般方程（，）： ?? ??. 图2是上述解法的几何模型。 例2、解方程。 从几何上看，方程左边就是图3中边长为x的正方形中挖去一个长为x、宽为7/2的矩形、一个长为x-7/2、宽为7/2的矩形以及一个边长为7/2的正方形后所得的矩尺形，它的面积为60。因此，添加一个边长为7/2的