自适应控制大作业新.docVIP

2.1、Analyze the stability of the system ， (use a Lyapunov function candidate )。 解： 显然，是系统的唯一的平衡态。 又由于，； 所以，由上可知，，等号仅在时成立；当时，， 且当时，。 所以，系统的原点平衡状态是大范围渐进稳定的。 3.2 As an application of the result in Problem 3.1, let us considerthe stability of the system ，where are continuous. Show that if the equilibrium stateof the unperturbed linear system is uniformly asymptotically stable and (which implies) for some continuous functionsuch that where, then there exists a such that for any , the equilibrium stateof the perturbed systemis uniformly asymptotically stable. (Hint: use and, for some .) 证明：由题可知，，在是一致渐进稳定的 则存在一个与无关的T，使得，当时，有，且。 当系统为时，系统的解如下： 所以， 由于，，， 所以， 又由于 所以，，则系统是稳定的。 而，，当时，令，则，与无关，并且，所以系统是一致渐进稳定的。 4.2 Consider the systemwithand Design a least squares estimator for the parameters; design a gradient estimator for the parameters; show that for the estimated parameters converge to the true ones as t goes to infinity for any initial estimates (hint: use the definition of persistently exciting signals to show that in this case the signalis persistently exciting); simulate both the gradient and least squares estimators withfor and, and plot the parameter errors for; comment on the simulation results. 解：（1）、由题可知，系统为，取为 所以，，， 其最小二乘法估计器为： 其中 且 （2）、由（1）可知， ， 其梯度估计器为，，且，其中是矩阵增益常数。 （3）、因为有两个频率值，而本系统中，所以是持续激励的信号。并且，所以也是持续激励的信号。对于梯度算法或者最小二乘算法，都有，即。 （4）、梯度估计器： （a）、z0 = 1, p0 = 2 ,u(t) = 1，梯度估计器的最终的结果曲线如图1所示。 图1 u=1时梯度估计器的误差曲线 （b）、z0 = 1, p0 = 2 ,u(t) = sin(t)，梯度估计器的最终的结果曲线如图2所示。 图2 u=sin(t)时梯度估计器的误差曲线 最小二乘估计器： a）、z0 = 1, p0 = 2 ,u(t) = 1，最小二乘估计器的最终的结果曲线如图3所示。 图3 u=sin(t)时最小二乘估计器曲线图 （b）、z0 = 1, p0 = 2 ,u(t) = sin(t)，最小二乘估计器的最终的结果曲线如图4所示。 图4 u=sin(t)时最小二乘估计器曲线图 （5）通过MATLAB实验仿真得到上述几个图形，当u=1时，对比图1与图3发现两个估计器的效果类似，最小二乘估计器的曲线有小量的波动，二者趋向于0的时间都一样；当u=sin(t)时，对比图2和图4发现最小二乘估计器的效果比较好，曲线波动少，误差趋向0的速度明显比梯度估计器的快。 5.3 Consider the system,with, The system transfer function is. Assume the system parameters are all unknown. Verify or specify the conditions needed for the design of a model reference ad