自适应课件(北航)5(新3).pptVIP

5.3 李雅普诺夫稳定性与正实函数;即稳定性分析的第一方法和第二方法。第一方法将非线性自治系统运动方程在足 够小的邻域内进行泰勒展开，导出一次近似线性化系统，再根据线性系统特征值 在复平面上的分布推断非线性系统在邻域内的稳定性；第二方法引入具有广义能 量属性的李雅普诺夫函数，并分析其函数的定号性，建立判断系统稳定性的相应 结论。它在1960年前后被引入控制理论界，并很快成为研究系统稳定性的主要工 具，本节介绍李雅普诺夫第二方法。 设自治系统状态方程 的解为： 式中， 为系统初始条件， 为初始时刻， 为状态向量。 如果系统某一状态对所有时刻均满足 ; 定义5-3-1 如果对任意一个实数 ，均对应存在另一依赖于? 和 的实 数 ，使满足以下不等式 的任一初始状态 出发的所有解 都满足 则称式（5-30）表示的系统的平衡状态 在时刻 为李雅普诺夫意义下的稳 定。如果 与 无关，则称为李雅普诺夫意义下一致稳定。 几何意义：初始状态 不越出平衡状态 的邻域?，相应解 不 越出平衡状态 的? 邻域，那么 是稳定的，如图5-4所示。 定义5-3-2 若式（5-30）所示系统的平衡状态 满足 （1） 在 时刻为李雅普诺夫意义下稳定； （2）存在 ， 使满足;则称平衡状态 是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。假若 与 无关，则称 其为李雅普诺夫意义下一致渐近稳定。 几何意义： 的 领域内出发的运动轨线 最终均趋于平衡状态 如图5-5所示。; （1） 为李雅普诺夫意义下稳定； （2） 则称平衡状态 是李雅普诺夫意义下全局（或大范围）渐近稳定。 定义5-3-4 如果不论取实数 为多大，均不存在一个实数 ， 使得满足不等式 的任意初始状态 出发的解 满足不等式： 则称式（5-30）表示的平衡状态 在时刻 为不稳定。其几何意义如图5-6 所示。 实质上，李雅普诺夫意义下渐近稳定与工程意义下的稳定是等价的，李雅普 诺夫意义下不稳定等同于工程意义下的发散不稳定。 有了李雅普诺夫意义下的稳定概念之后，余下的问题是如何判定一个系统在;平衡点的稳定性。李雅普诺夫第二方法主要定理是判定的主要工具。它借助能量 的特性来研究系统稳定性，即系统运动总是随能量变化的，如果系统能量变化始 终为负，运动中单调减小，那么系统受扰运动最后回到平衡状态。下面不加证明 地给出系统稳定性判定定理。 定理5-3-1 对式（5-30）所表示的系统，若可构造一个标量函数 ，且 对状态空间中所有非零状态点满足以下条件： （1） 是正定的，即 ； （2） 是非正定的，即 ； 则系统的原点平衡状态 在李雅普诺夫意义下是稳定的。除了以上条件外， 如果 亦满足，则 是全局稳定的。 定理5-3-2 对式（5-30）所示的系统，若可构造一个标量函数 ，且对;状态空间中所有非零状态点满足以下条件： （1） 是正定的； （2） 是负定的， 则系统的原点平衡状态 是渐近稳定的。除了以上条件外，如果 亦满足，则 是全局渐近稳定的。 定理5-3-3 对式（5-30）描述的系统，若可构造一个对时间具有连续一阶偏 导的标量函数 ，以及围绕状态空间原点的一个吸引区?，使对 状态有 （1） 正定； （2） 非正定； （3）在任意起于 的运动轨线上，使所有 不恒为零； 则该系统是平衡状态渐近稳定的。如果满足 则