第13章矩阵的特征值和二次型知识点.ppt

第13章 矩阵的特征值和二次型; 要求 熟练掌握 方阵的特征值与特征向量的概念及其求法 二次型的概念及矩阵表示 法 二次型化为标准型 了解 向量概念和性质 向量组的正交规范化;13.1 矩阵的特征值与特征向量13.1.1 特征值与特征向量; 即 （3） 方程组（3）式的左端 为 的n次多项式， 因此A的特征值就是该多项式的根，即 其中设 看作未知数，A是以 为未知数的 一元n次方程式，这个方程式成为矩阵A的特征方程，多项 式 可称为矩阵A的特征多项式，A的特征值 也就是特征方程的根。通常还称矩阵 为A的特 征矩阵。;13.1.2 特征值与特征向量的求法; 再求特征多项式的根，即解 得到A的3个特征值为 ， 求特征向量，对 将 代入（2）式， 求出的该齐次线性方程组的所有非零解为对应于 的特征向量，即 （4）; 通过初等行变换化为阶梯形矩阵容易算出的 系数矩阵。;1 因为 因此齐次线性方程组（4）的基 础解系只有一个线性无关的向量，取 为自由元， 得到基础解系。 于是对于任意常数 ，均为（4）式 的非零解，也均为矩阵A对应于特征值1的线性无关 的特征向量。; 再求矩阵A对应于特征值 的特征向 量，将 代入式（2）可得齐次方程组 （5） 先计算 得 ;因为 因此齐次线性方程组（5）式的 基础解系有2个线性无关的向量，取 和 为自 由元，得到基础解系为 ， 于是 所有非零线性组合 （其中 为不全为零的任意常数）均为（5）式的非 零解，可知，它也是矩阵A对应于特征值2的线性 无关的2个特征向量，于是A的线性无关的特征向 量有3个，正好等于矩阵A的阶3。当取便 一切数时便得到了A的所有特征向量（除零向量）;定理1 设A为n阶方阵，则数 为A的特征值的充分 必要条件是： 是A的特征多项式 的根；n 维向量 是A对应于特征值 的特征向量的充分 必要条件为： 是齐次线性方程组 的 非零解。 我们总结一下求矩阵特征值与特征向量的具体 步骤如下： 第一步：求出n阶矩阵A的特征多项式，这需要计 算一个n阶行列式 。;第二步：求解特征方程 ，得到n个 根（一般情况下是复根），就是A的n个特征值。 第三步：将各个特征值依次代入特征矩阵，求 出齐次线性方程组 的解，这些解就 是矩阵A的特征向量。 定理2 n阶实对称矩阵A有n个特征值。只要证明 A的任一特征值必是实数就可以了。 定理3 设 是矩阵A的S个互不相同的 特征值且 分别是关于 的S个特征向量，则 是一组线性 无关的向量。;例 求A的特征值与特征向量。 解 A的特征方程 因此A的特征值为 ，不难验证向量 都是A的关于1的特征向量，