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数学系 李继根（jgli@ecust.edu.cn） 第四章 矩阵的标准型 数学系 李继根（jgli@ecust.edu.cn） 标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相 似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征 值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹 n 及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相 似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似 矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵” 当然越简单越好。对于可对角化矩阵，“代表 矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。特别地， 对于正规矩阵，可逆的相似变换矩阵特殊化为 酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾的是： 一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！ 数学系 李继根（jgli@ecust.edu.cn） §11、矩阵的JordanJordan标准型 由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我 们““退而求其次””，寻找““几乎对角的””矩阵。 这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问 题，其中JordanJordan标准型是最接近对角的矩 阵，只在第11条对角线上取11或00。弄清楚 了矩阵相似的本质，理论上、计算上以及 应用上的许多问题就容易处理了，当然花 费也大了。 数学系 李继根（jgli@ecust.edu.cn） 一、 JordanJordan标准型的概念 定理定理 11 设 T 是复数域 C 上的线性空间 V 上的 线性变换 。令 T 在 V 的一组基下的矩阵表示 为 A ，如果 A 的特征多项式可分解因式为 m m 1 s ) ) ? ? ( ( ) ) ? ? ? ( ? ( ? ) ) ( ( ? ? 1 ?? s ) n ? m ? 2 m ( ? m 1 ? ? s 则 V 可分解成不变子空间的直和 N N N V 2 ? 1 ? s m 这里 i Ke ) N i ? r ( ( T ? ? i E ) 数学系 李继根（jgli@ecust.edu.cn） 适当选取每个子空间 的基（称为Jordan基）， N i JordanJordan 则每个子空间的Jordan基合并起来即为 V 的JordanJordan 基，并且 V 在该Jordan基下的矩阵为块对角阵 igJJJ J J J J )) )) diag? diag ( ( J J , , J J ), ? ), ( ( 2 ), ), 2 ( ( ? ( ( 1 1 ? ?? s s 称 J 为 A 的JordanJordan标准型。并称方阵 ? ? ? i 1 pl ? apple ? ? s i , 1 2 , , , ? ? J ) ( ? ? apple i ? pl ? i i apple ? 1 pl ? apple ? i ? ? i m m i ? 为 阶 块。 m i 阶JordanJordan 块。 数学系 李继根（jgli@ecust.edu.cn） 定理定理 22 设 C C A A ? n ? 。如果 A 的特征多项式可 m m 分解因式为 1 s ) ) ? ? ( ( ) ) ? ? ? ( ? ( ? ) ) ( ( ? ? 1 ?? s ) n ? m ? 2 m ( ? m 1 ? ? s 则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J (不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为 JordanJordan变换矩阵 ) C P ? n ? 使 PJ AP AP