FXQ-Chapter-02张量探析.ppt

冯 西 桥 清华大学工程力学系 2007.09.21 第二章 张量分析初步 Fundamentals of Tensor Analysis 目 录 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 Appendix A 引 言 广义相对论（1915）、理论物理 连续介质力学（固体力学、流体力学） 现代力学的大部分文献都采用张量表示 Appendix A 主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972 黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003. 张量基本概念 标 量（零阶张量） 例如：质量，温度 质量密度 应变能密度，等 其值与坐标系选取无关。 Appendix A.1 矢量（一阶张量） 位移，速度， 加速度，力， 法向矢量，等 Appendix A.1 张量基本概念 矢 量 矢量u在笛卡尔坐标系中分解为 Appendix A.1 其中u1, u2, u3 是u的三个分量，e1, e2, e3是单位基矢量。 张量基本概念 矢 量 Appendix A.1 既有大小又有方向性的物理量; 其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系； 遵从相应的矢量运算规则 张量基本概念 矢量(可推广至张量)的三种记法： 实体记法： u 分解式记法： 分量记法： Appendix A.1 张量基本概念 Appendix A.1 指标符号用法 三维空间中任意点P的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。 两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为： 张量基本概念 爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。 Appendix A.1 张量基本概念 Appendix A.1 由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换： 由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如： 只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围和 i 相同。 张量基本概念 约定： 如果不标明取值范围，则拉丁指标i, j, k, …表示三维指标，取值1, 2, 3; 希腊指标, , , …均为二维指标，取值1, 2。 张量基本概念 张量基本概念 拉丁指标 希腊指标 张量基本概念 二阶张量 应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。 三阶张量 压电张量，等。 四阶张量 弹性张量，等。 Appendix A.1 二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量 低阶张量的梯度 低阶张量的并积 更高阶张量的缩并，等。 Appendix A.1 张量基本概念 张量基本概念 应力张量 Appendix A.1 张量的三种记法： 实体记法： 分解式记法： 分量记法： Appendix A.1 张量基本概念 爱因斯坦求和约定 Appendix A.1 张量基本概念 Appendix A.1 采用指标符号后，线性变换表示为 利用爱因斯坦求和约定，写成： 其中 j 是哑指标，i 是自由指标。 张量基本概念 例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为 (或 )。 矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量为零阶张量。 Appendix A.1 张量基本概念 Appendix A.1 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：  若i为自由指标 张量基本概念 ★ Appendix A.1 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。 例如：表达式 在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有 张量基本概念 ★ 同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。 Appendix A.1 i换成k 张量基本概念 ★ ★ Appendix A.1 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系 场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分： 张量基本概念 ★ Appendix A.1