“线性代数”证明题.ppt

《线性代数》证明题;一. 为什么要练习解决证明题;二. 我们为什么觉得证明题难;三. 证明题的难度分类; 例1. 设e1 = ;即 ; 例1. 设e1 = ;证明: (2) 因为 ;证明: (2) 对于任意的n维向量? =(a1, a2, …, an)T, ;三. 证明题的难度分类;例2. 设?1, ?2, ?3线性无关, 证明 ;证明:若k1?1+k2?2+k3?3 = ?, ;三. 证明题的难度分类;例3. 设A, B, A+B都是可逆矩阵, 证明A?1 + B?1也 是可逆矩阵. ;例3. 设A, B, A+B都是可逆矩阵, 证明A?1 + B?1也 是可逆矩阵. ;四. 怎样提高解决证明题的能力;四. 怎样提高解决证明题的能力;五. 爆炒证明题;例5. 设?, ?为两个不共线的向量, AB = ? +2?, BC = ?4? ?? , CD = ?5? ?3? , 证明: 四边形ABCD是梯形. ;例5. 设?, ?为两个不共线的向量, AB = ? +2?, BC = ?4? ?? , CD = ?5? ?3? , 证明: 四边形ABCD是梯形. ;即k1(? +2?) + k2(?5? ?3?) = ?, ;例6. 设M是?ABC的重心, O是?ABC所在平面上 ;例7. 设向量?, ?, ?互不平行, 且??? = ??? = ???, ;例8. 若A, B都是n阶对称矩阵, 且AB = BA, ;例9. 设A = ;若矩阵MN满足MN = NM, 则对于任意的 正整数n, ;令M = ;例10. 证明任何一个方阵都可以分解为一个对称 矩阵和一个反对称矩阵之和. ;例10. 证明任何一个方阵都可以分解为一个对称 矩阵和一个反对称矩阵之和. ;例11. 证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零. ;例12. 设A是n阶方阵, n?2, 求证|A*| = |A|n?1. ;例12. 设A是n阶方阵, n?2, 求证|A*| = |A|n?1. ;例13. 设A是奇数阶方阵, 且ATA = I, |A| 0, ;例14. 设A = I ? eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零 ;例14. 设A = I ? eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零 ;例14. 设A = I ? eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零 ;例15. 证明两个上三角矩阵的乘积是上三角矩阵. ;例16. 设?1, ?2, ?3, ?4都是n维向量. 已知?4不能由 ;例17. 证明: 在秩为r的向量组中任意r个线性无关 ;设;例18. 设有向量组I: ?1, ?2, ?3; II: ?1, ?2, ?3, ?4; ;;例19. 设Rn中向量组I: ?1, ?2, …, ?s; II: ?1, ?2, …,;例19. 设Rn中向量组I: ?1, ?2, …, ?s; II: ?1, ?2, …,;(2) 设秩(I) = r, 秩(II) = u, ;例20. 设向量组I能由II线性表示, 且秩(I) = 秩(II), ;j1 ;例21. 对任意m?n??阵A, B, 证明: 秩(A+B) ?秩(A)+秩(B). ;例21. 设A为m?n矩阵, ?1, ?2, …, ?s是Ax = ?的基础解系, ;证明: ① (?1, ?2, …, ?s) = (?1, ?2, …, ?s)P. ;例22. 设A为s?m矩阵, B为m?n矩阵, 且AB = O. ;例23. 设A为m?n矩阵, 秩(A) = r. 证明: Ax = ?的任意n?r ;所以可设 ;例23??. 设向量空间V的维数为r. 证明: V中任意r个线性 ;例24. 设A为3阶可逆方阵, 将A的第一行和第三行互换后;例25. 设A为m?n矩阵, 秩(A) = r. 证明: ;例26. 设A, B, C, D是同阶方阵, 其中A是可逆的. 证明: |M| = |A|·|D?CA?1B|, 其中M是分块;例27. 设A为m?n的矩阵, b为m维列向量. 证明:;证明: ① (ATA, ATb) = AT(A, b) ;例28. 设A为n阶矩阵, ?为n维列向量. 若存在正整数k