数量方法[串讲版仅供参考].docVIP

PAGE12 / NUMPAGES12 数量方法 数据的整理和描述 1、数据的图形显示方法：频率直方图、饼形图、条形图、柱形图、散点图、折线图、曲线图、茎叶图。（P8-15） 重点频率直方图、散点图和茎叶图。 2、平均数。平均数等于全体数据的总和除以数据的个数。(P16) 平均数= 若，x1，x2…，xn，则这组数据的平均数据，记为，为 = (x1+x2+…+xn)/n=xi 3、中位数。将数据集按上升顺序排列，位于数列中间的数值成为该数据集的中位数。 4、平均数、中位数和众数的关系。（1）对于单峰对称直方图，平均数、中位数和众数应当完全相同，位于直方图的正中间。（2）对于峰值偏向左边的单峰非对称直方图，一般来说，平均数最大，众数最小，中位数位于平均数和众数之间。（3）对于峰值偏向右边的单峰非对称直方图，一般来说，平均数是最小的，众数是最大的，而中位数位于两者之间。（P20-21） 5、极差。最简单、最直观的度量数据离散程度的方法或许应当是数据集中最大数值与最小数值的差，称为极差（或全距），记为R。即：极差R=最大值-最小值。极差越大，说明数据散布的范围越广，即数据越分散;极差越小，说明数据越集中。(P24) 6、四分位点和四分位极差。四分位点是把数据集先进单位发为四部分的那些数值。四分位点共有三个，分别称为第一四分位点（记为Q1），第二四分位点（记为Q2），第三四分位点（记为Q3）。在计算四分位点之前，应先将数据集按上升顺序重新排列。(P25) 7、方差和标准差。σ2=(xi-)2 8、变异系数。V=σ/×100%。 例：Q1=(n+1)/4 Q3=3(n+1)/4。 10个家庭人均月收入数据如下： 原始数据：1500 750 780 660 1080 850 960 2000 1250 1630 排序： 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位置： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q1=10+1/4=2.75=750+0.75(780-750)=772.5 Q3=3(10+1)/4=8.25=1500+0.25(1630-1500)=1532.5 随机事件及其概率 1、概率的乘法公式。由条件概率我们得到概率的乘法公式：设A、B为两个事件，若P（B）0，则P(AB)=P(B)P(A|B);若P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A)。（P52）。 2、事件的独立性。如果事件A和事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B独立。（P53） 3、全概率公式。P(B)=(Ai)P(B|Ai)。一般来说，设事件A1，A2,，…An两两互斥，A1+A2,+…+A=Ω（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组）且P(Ai)0，i=1,2, …,n，则对于任意事件B有P(B)=(Ai)P(B|Ai)，该公式称为全概率公式。（P56） 4、贝叶斯公式。P（Ai|B）=P（Ai）P(B|Ai)/ (Aj)P(B|Aj)。设事件A1，A2,，…An两两互斥，A1+A2,+…+A=Ω（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组）且P(Ai)0，i=1,2, …,n。将等式P(Ai|B)=P(AiB)/P(B)=P(Ai) P(B|Ai)/P(B)。i=1,2,3,4。推广并将全概率公式代入，得到下面的结果：对任一事件B，如果P(B)0，则有P（Ai|B）=P（Ai）P(B|Ai)/ (Aj)P(B|Aj)。 随机变量及其分布 1、离散型随机变量的数学期望。如果X为一个离散型随机变量，它的分布律为P(X=xi)=pi;设g(X)为X的一个函数，则随机变量g(X)的数学期望为： E[g(X)]=(xi)P(X= xi)= ( xi) pi。随机变量X的函数g(X)的数学期望可以看成是g(X)在大量重复试验下所有取值的平均值。 当g(X)=a+bx时（其中a和b都是常数），我们有E(a+bX)=a+bE(X)，当b=0时，我们有E(a)=a，即一个常数的数学期望就是它自己。（P67-68） 2、离散型随机变量的方差。对随机变量的离散程度的一个试题就是方差。高离散型随机变量X具有分布律P(X=xi)=pi，i=1，2，…，它的数学期望为μ，则 E[(X-μ)2]=(xi-μ)2 pi。计算离散型随机变量X的方差还有一个常用的公式：设X具有分布律P(X=xi)=pi，i=1，2，…则X的方差为DX=E(X2)-(EX)2=xi2pi-( xipi)2。（P69） 设a、b为常数，X为离散型随机变量，则D(a+bx)=b2DX特别地，当b=0时，D(a)=0，即常数（作为特殊的随机变量）的方差等于0。（P69） 3、常