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中学生学习报排版问题 ————数据模型与决策案例 背景表述 《中学生学习报》创办于1982年10月，它是我国第一家以中学生为主要读者对象的知识性周报。创办以来，《中学生学习报》留下了辉煌的历史。《中学生学习报》初中版创办半年后发行量就达到100万。1986年，《中学生学习报》初中、高中版，合计发行量300万份，在全国同类报刊中发行量最大。1988年，由报社主办的杂志《试题研究》（现更名为《试题与研究》）创刊。 《中学生学习报》每半月一期，每期四页。在2012年第一学期期末考试前夕，《中学生学习报》决定摘选历年期末考试的典型真题作为2013年1月份的两期内容，以供读者练习。 问题描述 这是一个选题与排版的问题。 《中学生学习报》九年级1月刊一共有上、下两期。 考试研究小组已从历年期末考试题中精选了语文、数学、英语和综合4种科目各10道题目，共40道题，用??1月份的上、下两期的模拟考试版块中。（每期都只有一个模拟考试板块。） 期模拟考试板块只包含4科真题各5道，共20道题。 每道题所占用的的行数如下图所示： 题目编号12345678910科目语文6565667898数学4665665679英语5655566777综合7677767899由于某些题目内容之间的联系，以下题目必须放在同一期报纸的试题中： ◆语文第1、2题◆语文的第3、4题◆语文的第7、8、9题◆数学的第3、4题◆数学的第5、6题◆数学的第7、8题◆数学的第9-10题◆英语的第5、6、7题◆英语的第8、9、10题◆综合的第1、2题◆综合的第3、4题◆综合的第5、6题◆综合的第7、8题 为考虑两期的模拟考试版块大小应较为一致，应如何分配这40道题，使得这两期的该模拟考试版块的篇幅最为接近。 问题分析 我们根据问题的描述，容易知道该问题的本质是对这4科共40道题的分配问题。 我们不妨设40个变量xij，其中i=1，2，3，4代表不同的科目，分别为语文，数学，英语，综合。j代表题号。 令xij为一个二进制变量，若xij=1，则代表该题目在上期期刊中出现，xij=0，则在下期出现。 由题意，易知：每期考试只包含4科真题各5道，故应有： j=110xij=5 i=1,2,3,4 同时某些题目应出现在相同的试卷中，包括： 约束如下对应的约束式如下◆语文第1、2题x11=x12◆语文的第3、4题x13=x14◆语文的第7、8、9题x17=x18=x19◆数学的第3、4题x23=x24◆数学的第5、6题x25=x26◆数学的第7、8题x27=x28◆数学的第9-10题x29=x210◆英语的第5、6、7题x35=x36=x37◆英语的第8、9、10题x38=x39=x310◆综合的第1、2题x41=x42◆综合的第3、4题x43=x44◆综合的第5、6题x45=x46◆综合的第7、8题x47=x48我们的总终问题是求两期的考试板块的行数应大致相同。 不妨设aij代表题目的行数，其中i=1，2，3，4代表不同的科目。j代表题号。 aij=j=12345678910i=16565667898246656656793565556677747677767899根据上图，例如a24为i=2，j=4所对应的单元格，即为4，或数学第4题所需的行数。 通过计算，得到aij=258 所以上期所需要的行数Z=max?(aijxij,aij(1-xij) 目标函数为minZ. 问题求解 将上述目标函数及约束式通过EXCEL进行规划求解，（如用其他Lingo等软件解法略，）如下页： 　题目编号12345678910科目语文6565667898所有行数258数学4665665679相差0英语5655566777实际129综合7677767899　xij/(1-xij)实际题数约束剩余语文0011001110550数学1111010000550英语1001000111550综合0011110010