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3.7 立足三维 超越三维 抽象变自然 1．公开课教学简案 课题：线性空间有关概念 时间：1980.7.14 下午2.00-3.40 班级：江苏电视大学无锡分校化工教学班 教学目的：理解线性空间、子空间、基、维数、同构等概念，会判断一个集合对所指运算是否构成数域P上的线性空间、线性子空间，会确定维数与基. 教学过程与内容： 一. 考察下列集合：归纳它们的共性 V1={|=(a,b,c),a,b,cR}，这是普通的空间向量的集合； V2={f|f=ax2+bx+c,a,b,cR }，这是次数小于3的多项式集合； 这些集合与实数数域，普通加法、数乘组成的四元组合（V，R，+，·）满足以下8条公理： （V1，R，+，·）（V2，R，+，·）加 法交换律+=+f+g=g+f结合律(+)+=+(+)(f+g)+h=f+(g+h)零元+0=f+0=f负元+(-)=0f+(-f)=0数 乘单位元1·=1·f=f结合律k()= (k) k(f)= (k)f 数乘 与 加法分配律1(k+)=k+(k+)f=kf+f分配律2k(+)=k+kk(f+g)=kf+kg二．类比，抽象出线性空间定义 一般来说, 线性空间是一个满足以下8条公理的四元组合(V，P，⊕，﹡)，其中V 是一个非空集合，P是一个数域，V 上有一种代数运算⊕，叫做加法，P与V 之间有一种运算﹡，叫做数量乘法，且满足V，P有： 1. +=+； 2. (+)+=+(+)； 3. 存在零元0V，使得V，都有+0=； 4. 存在 -V，使得V，都有+(-)=0； 5. 1*=： 6. k()=(k)； 7. (k+)=k+； 8. k(+)=k+k。 三．检验，在辨析与变式中深化概念 1．在V1中限定c=0，或c=1，或b+2c=0，其他规定不变，是否还构成线性空间？ 答：c=0，b+2c=0时还是线性空间，只要验证+，k仍然属于V1就可以了，即运算的封闭性；c=1时因为没有零向量，不是线性空间。 2．在V2中限定a≠0，或a,b,cZ，其他规定不变，是否还构成线性空间？ 答：a≠0时，没有零多项式，且f+g不一定属于V2，不是线性空间； a,b,c是整数时，对于实数k=，kf一般不属于V2，也不是线性空间。可见线性空间与数域有关系，而四元组合（V2，Q，+，·）构成线性空间。 3．所有二阶矩阵的集合在实数域上对于矩阵的加法与数乘是否构成线性空间？ 答：可以对照8条公理，逐一验证，构成线性空间。 4．四元组合（C，R，+，·）是否构成线性空间？ 答：复数集合、实数域、普通加法与数乘构成线性空间。 小结：线性空间的抽象性、整体性、规律性、运算封闭性、元素无限性、与数域有关性。 四．推广，定义n维线性空间、子空间、基与维数的概念 1．四元组合（Vn，R，+，·）构成线性空间，其中Vn={|=(x1，x2，…，xn), xiR，i=1,2,…,n}。 2．定义基的概念，求V1、V2、所有二阶矩阵、复数集合所构成的线性空间的一个基。 3．定义维数概念，求V1、V2、所有二阶矩阵、复数集合所构成的线性空间的维数。 思考：下列集合在怎样的数域上构成线性空间？求其一个基与维数。 1．V={|是A的属于的特征向量}；再添一个零向量呢？去掉“属于”之后呢？ 2．V={|是次数小于n的多项式}；若将“小于”改成“等于”呢？若是整系数多项式呢？若是定义在[,]上的连续函数呢？ 3．V={+|,Q}；若,R呢？ 4．证明V={B|BA=AB，A=}，V按矩阵运算构成一个实线性空间，并求它的基与维数。 5．在四维实空间R4中，求齐次方程组 确定的解空间的基与维数，并判断(-1,15,3,-3)是否属于这个解空间. 小结：判断线性空间、子空间的一般方法。基不一定存在，存在也不唯一；维数是唯一的，但与数域有关。 五．比较，在一一对应的基础上导出同构概念 同构概念（简明定义） 2．回顾与反思 这是 线性空间有关概念是《线性代数》中最基本、最重要，也是最抽象的概念之一。而概念既是数学的实体，又是数学思维的工具；是浓缩的知识点，是数学内容的基本点，是逻辑导出定理、公式、性质、法则的出发点，是建立学生认知结构的着眼点；所以概念的学习是数学学习的核心, 概念课的教学是教师落实基础的关键，是学生打好基础的首要环节. 概念课是数学教学中的一种主要课型. 因此，采用行之有效的概念教学方法，突破抽象概念的理解，对提高教学质量至关重要． 高中数学里，我们学习了平面向量与空间向量，已经看到采用向量的概念，直线、平面及其位置关系等几何问题变得特别的简单和清楚。当我们把平面向量、空间向量推广到广义的n维向量时，自然