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数学分析课后习题答案2.1.pdf
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 1+ (?1) n 1、设 a = , n = 1,2,?,a = 0 n n (1) 对下列的 分别求出定义中的 : , , ; ε N ε1 = 0.1 ε 2 = 0.01 ε 3 = 0.001 1+ (?1) n (2) 对ε ,ε ,ε 可以找到相应的 N 是否证明了 趋于 0,应该怎样做才对; 1 2 3 n (3) 对给定的ε 是否只能找到一个 N ? 1+ (?1) n 2 解: (1)当ε = 0.1 时,要使 a ? 0 = ≤ 0.1,只要取 N = 20 ; 1 n n n 1 当 , 时, 只要取 , 即可. ε 2 = 0.01 ε 3 = 0.001 N 2 = 200 N 3 = 2000 1+ (?1) n (2) 没有证明 趋于 0.正确的做法应该是对任意的ε 0 ,都能找到相应的 N 才 n 2 2 1+ (?1) n 行.即由 ,求得 ,这时才能下结论 . an ? 0 ≤ ε N = [ ] +1 lim = 0 n ε n→∞ n (4) 对给定的 ,若能找到一个合适的 ,那么一切大于 的正整数都可以作为定义 ε N 0 N 中的 N ,所以有无穷多个 N . 2. 按ε ? N 定义证明: n 3n 2 + n 3 n! (1) lim = 1; (2) lim = ; (3) lim = 0 ; n→∞ n +1 n→∞ 2n 2 ?1 2 n→∞ n n π n (4) limsin = 0 ; (5) lim = 0(a 1) ; n→∞ n n→∞ a n n 1 1 1 证 (1)因为 ?1 = ,所以对于任给的ε 0 ,取 N = [ ] +1,则当 n N 时, n +1 n +1 n ε n n ε ,所以 lim = 1. n +1 n→∞ n +1 (2)因为当 n 2 时, 3n 2 + n 3 2n + 3 2
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