利用2分法求方程的近似解.docVIP

1.2.利用二分法求方程的近似解 教材分析：求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到数学思想方法的科学性与完美性。. 学情分析：学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系，初步掌握函数与方程的转化思想。但对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难，另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题。 一、三维目标： 1.知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法， 从中体会函数的零点与方程根之间的联系。 2.过程与方法：借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生初步了解近似思想、逼近思想、算法的思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。 3.情感态度与价值观：通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。 二、重点难点 用二分法求方程的近似解. 三、教学过程 1.新课导入(事例导入) 师：有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法) 解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球. 第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球. 第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？它在数学中有什么神奇的用处呢？引入课题：利用二分法求方程的近似解 或者(情景导入) 师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？ 2. 温故知新 判断零点存在的方法：如果函数 QUOTE 在区间[a, b]上的图像时是连续不断的一条曲线，并且有 QUOTE ，那么函数 QUOTE 在区间（a, b）内有零点，即存在 QUOTE ,使得 QUOTE , 这个c就是方程 QUOTE 的根.那我们能不能利用二分法求方程的解呢？ 3.实例体验 假设在区间[-1,5]上，f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(-1)0,f(5)0即f(-1)f(5)0，我们依如下方法可以求得方程f(x)=0的一个解。 取[-1,5]的一个中点2，因为f(2)0,f(5)0, 即f(2)f(5)0,所以在区间[2,5]内有方程的解，于是再取[2,5]的中点3.5，……，这样继续下去， 如果取到某个区间的中点 QUOTE ,恰好使f( QUOTE )=0,则 QUOTE 就是所求的一个解；如果区间中点的函数总不为0，那么，不断重复上述操作. 师：通过上面的事例，我们能不能给二分法下个定义呢？师生讨论交流 给出二分法的定义： 对于在区间[a, b]上连续不断,且的函数,通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法,叫做二分法. 4. 动手实践 求方程2 QUOTE +3x-3=0的一个实数解，精确到0.01. 例题：求方程x3+3x-1=0的一个正的近似解?(精确度0.1) 解：设f(x)= -3x-1,设为函数的零点,即方程-3x-1=0的解. 作出函数f(x)= -3x-1的图象 因为f(1)=-30,f(2)=10, 所以在区间(1，2)内方程-3x-1=0有一个解，记为. 取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)=-2.1250， 所以1.52. 再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)=-0.890 6250， 所以1.752. 如此继续下去，得 f(1)0，f(2)0x1∈(1,2), f(1.5)0，f(2)0∈(1.5,2)， f(1.75)0，f(2)0x1∈(1.75,2)， f(1.875)0，f(2)0∈(1.875,2), f(1.875)0，f(1.937 5)0∈(1.875,1.937 5)， 因为|1.937 5-1.875|=0.062 50.1, 所以区间(1.875,1.932 5)内的每一个实数都可以作为方程x3-3x-1=0的正近似解. 进一步体会: 探求 QUOTE - QUOTE =0的近似解 通过前面例题的学习，我们可以利用二分法求方程近似解，那它求近似解的步骤是什么呢？ 首先给定精确度ε, 用二分法求函数零点 QUOTE 的步骤: 1、确定