函数专题七-方程根的分布及相关不等式问题解法总结.docVIP

数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点），方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。——星空学习 PAGE  PAGE 13 解题不总结，等于竹篮子打水。 函数专题七——方程根的分布及相关不等式问题解法总结 根的分布指的是探讨方程在指定区间内根的存在性、个数的问题，高中数学常见于一元二次函数或与一元二次函数有关的问题中。 一、一次方程根的分布 例1、已知函数，若在区间[，1]上存在，使，则实数m的取值 范围是_______________。 小结：一次方程根的分布可以直接解得根后满足条件或在区间（a，b）上利用处理。 二、一元二次方程根的分布 下面讨论当a0时一元二次方程根的分布。 （一）不限制根的区间：（1）无根：Δ0；（2）一根：Δ=0；（3）两根：Δ0。 （二）限制根的区间 1、指定区间内有两根 ⑴、两个根在不同区间内 ①；②；③；④。 根的分布x y o m x1 x2 图象表达式x2 y o n x1 x m p x2 y o m x1 x n x2 y o n x1 x m p q ⑵、两个根在同一个区间内 ①；②；③。 x y o m x1=x2 ① 根的分布x y o m x1 x2 ② 图象表达式①；②x y o m x1=x2 ① x y o m x1 x2 ② ①；②x2 y o x1 x m n ② y o x1=x2 x m n ① ①；②2、指定区间内恰有一个根 ⑴在（m，）内恰有一根；⑵在（，m）内恰有一根；⑶在（m，n）内恰有一根。 根的分布x y o m x1= x2 ① x y o m x1 x2 ② 图象表达式在（m，） 内恰有一根x y o m x1= x2 ① x y o m x1 x2 ② ①； ②在（，m） 内恰有一根①； ②在（m，n） 内恰有一根x2 y o x1 x m n ② x y o m x1= x2 ① n x2 y o x1 x m n ③ ①； ②③3、指定区间内至多或至少有一个根 ⑴至少有一个根 ①在（m，）内至少有一根： 分两种情况：①在（m，）内恰有一根；②在（m，）内有两根。 ②在（，m）内至少有一根： 分两种情况：①在（，m）内恰有一根；②在（，m）内有两根。 ③在（m，n）内至少有一根： 分两种情况：①在（m，n）内恰有一根；②在（m，n）内有两根。 ⑵至多有一个根 ①在（m，）内至多有一根： 分三种情况：①在（m，）内恰有一根；②在（，m]内有两根；③无根。 ②在（，m）内至多有一根： 分三种情况：①在（，m）内恰有一根；②在[m，）内有两根；③无根。 ③在（m，n）内至多有一根： 分四种情况：①在（m，n）内恰有一根；②在（，m]内有两根；③在[n，）内有两根；④无根。 小结：一元二次方程根的分布关键在于正确地作出符合题意的抛物线（实际作图时最容易发生情况遗漏），一般要先理解习题要求，再根据需要依次考虑习题中抛物线的四个方面（①开口方向、②判别式、③对称轴与区间的相对位置、④区间端点的函数值的符号）的可能性进行作图。 一、基础题型 例2、已知关于的二次方程，分别求满足下列条件的m的范围。 ⑴一根比1小，另一根比1大； ⑵一根比0小，另一根比1大； ⑶两根都大于0； ⑷两根（-1，0），（1，2）； ⑸两根都在区间（0，1）内； ⑹恰有一根在（1，+∞）内； ⑺至少有一根在（1，+∞）内。 小结：要正确作图可分以下几个步骤：⑴理解清楚题意：方程有没有根？有几个根？根分布在哪（两）个区域？是否需要分情况讨论？⑵开始作图：依次考虑以下方面：①开口方向有没有确定？②符合题意的“Δ”有哪些情况？③是否需要考虑对称轴相对与根的分布区间的位置关系？④分布区间的端点在图象上对应点位置在x轴上？上方？下方？ 例3、已知，若x∈[，2]，恒成立，求a的取值范围。 小结：①不等式问题要先转化为方程的根的分布问题。②不等式恒成立问题也可用变量分离法求解。 练： 1、已知关于x的方程，求满足下列条件的m的取值范围。 ⑴两个正根?； ⑵有两个负根； ⑶两个根都小于1； ⑷一个根大于2，一个根小于2?； ⑸两个根都在（0，2）内； ⑹两个根有且仅有一个在（0，2）内； ⑺一个根在（，0）内，另一个根在（1，3）内； 二、综合应用 例4、关于的方程的一个实根在[0，1]上，另一根在[1，2]上，则的最大值 为_____。 例5、已知集合A=，B=，若A∩B是单元素集，求实数m的取值范围。 例6、已知函数的定义域为A，函数的定义域为B， 若，求实数k的取值范围。 例7、求函数的值域。 三、复合型方程根的分布 复合方程在探讨根的情况时，一般按复合函