也谈1望而知方程根.docVIP

PAGE  PAGE 3 也谈一望而知方程根 普安县教育局教研室 舒世军 邮篇：561500 电话 在重庆大学出版的《数学情境与数学问题》一书中，四川师范学院汤强、康纪权两位老师设置有这样一个数学情境问题：“对方程x+=c+，不少同学回答说：‘我不用笔，只要眼睛看看，就知道方程的根x1=c，x2= ’” 。现笔者就此数学情境，来谈谈学生是怎能样“一望而知方程根”的。 首先，我们来看此方程的结构，右边x+，是一个数加上它的倒数，左边c+，也是一个数加上它的倒数，即左右两边的结构相同。不难看出，只要我们把未知数x的地方用c或来代换，即得c+= c+。根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，所以c或是方程的根。但此类方程以及它的变式方程要完整地写出它的根的求解过程，其步骤是比较复杂的。下面我们完整地完写出方程x+=c+求解过程： 解：x+=c+ = c(x2+1)=x(c2+1) cx2-(c2+1)x+c=0 （x-c）(cx-1)=0 （x-c）=0 或 (cx-1)=0 所以 x=c 或 x= 经过检验，x=c或x=是方x+=c+的根。 此解法看上去是比较复杂的，要是它的变式方程（如x+=a+），那就更加复杂了，但我们在遇上这类方程的变式方程的时候，能不能不像上面这样去解它，而是找到一种简单方法来解呢？ 刚才所说的方程的结构具有特殊性，且方程x+=c+的根是x=c或x=是不用怀疑的。我们可以利用它的特殊性，建立数学模型：方程x+=c+的根是x=c或x=。有了此模型，我们就可以用它来形如方程x+=c+类型的方程及它的变式方程。下面举例说明： 例1：解方程x+= 解：原方程可化为：x+= 2 + 由所建立模型得：x1=2，x2= 检验略。 例2：解方程 x+=a+ 解：化为x+=c+类型，两边减1得 （x-1）+ = (a-1) + 令：（x-1）=y 可得 y+=(a-1) + (a-1看成c) 得 y1 = a-1, y2 = 即：x-1=a-1或x-1= x1=a 或 x2= +1 = 检验略。 例3：解方程组 解：由（1），设=m, 则= 即，m+= 由例1知，m=2 或 m = 即，=2 或 = =4 或 = 把=4 或 = 与（2）并成方程组得 或 解方程组得 或 检验略。 例4：解方程 x+ = （a为常数且不等于0） 解：将方程化为x+=c+类型，两边乖以2得 2x+=a+3+ 两边都减去3得 2x-3+=a+（把2x-3看着一整体） 由所建模型得 2x-3= a 或 2x-3= 所以原方程的根是x1 = x2 = 经检验x1 = x2 = 是方程的根。 下面我们以例4为例来比较一下，不用模型“方程x+=c+的根是x=c或x=”来解（即用常规方法），看一下会乍样。 解：（常规方法） 原方程化为=（看上去已非常复杂） 去分母得 8ax2-12ax+2a=(4a2+12a+4)x-6a2-18a-6 移 项 得 8ax2-(4a2+24a+4)x+6a2+20a+6=0 4ax2-2 (a2+6a+1)x+3a2+10a+3=0 由求根公式得 x1= x2=（求根过程太复杂，在此不一一写出） 由例4的常规解法与用模型解法相比较，此类型的题用常规解法是比较难的，主要是解常规方法解题步骤复杂，容易算错，运算量大，如此题的用求根公式这一步是比较难算出来的。而用我们建立的数学模型解起来直观易懂，又不易出错，运算量也比较小。 通过上面的例子，我们可以看出，在遇到某种比较难解的题目的时候，我们可以动脑想出一些方法，然后利用这些方法或者途径来构建一些简单的数学模型，再利用这些数学模型为我们解题服务，会收到事半功倍的效果。