《椭圆的标准方程》教和学详案.docVIP

PAGE 8 《椭圆的标准方程》教与学详案 承德县职业技术教育中心 陶青山 学习目标： （一）知识目标： 1、理解椭圆的定义及其条件； 2、理解椭圆的标准方程的推导过程； 3、掌握椭圆的标准方程，能利用椭圆的标准方程求焦点和焦距，会求椭圆的标准方程。 （二）能力目标： 1、启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； 2、培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 二、重点与难点： 1、重点：椭圆的定义和标准方程。 2、难点：椭圆的标准方程的推导过程。 三、教学过程： （一）情景引入： （播放课件神州七号飞船发射升空和变轨前绕地飞行图片） 北京时间2008年9月25日晚9时10分许，中国自行研制的第三艘载人飞船神舟七号，在酒泉卫星发射中心载人航天发射场由“长征二号F”运载火箭发射升空，10分钟后进入预定轨道。同学???谁知道飞船此时在天空飞行的轨迹是什么形状的？ 那么在我们生活中你还见到过这种形状的物体吗？ 椭圆是我们生活中很常见的一种图形，也是一种很美丽的图形。我们这节课就来学习椭圆的有关知识。 （二）展示目标：（课件展示） （三）探索研究： 【自学椭圆的画法】 1、播放课件，给出自学提示： 给大家2分钟时间，自学学案中第一页的“椭圆的画法”，想一想你能否依据所给方法画出椭圆? 完成后我将找同学到前面演示椭圆的画法。 2、椭圆的画法： 如图1，取一条细绳，把它的两端固定在画板上的F1、F2两点上，让绳长大于F1和F2的距离，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 3、找一个同学到前面演示椭圆的画法。 4、由椭圆的画法分析椭圆上的点的特点，总结出椭圆的定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两个焦点间的距离|F1F2|叫焦距。 【自学椭圆标准方程的推导过程】 1、播放课件，给出自学提示： 给大家5分钟时间自学学案第二页 “椭圆标准方程的推导过程”，若有看不懂的地方，请在下面画上横线，邻近的同学相互讨论,研究解决,仍不能解决的,一会我们共同研究解决。 (x,y) 2、椭圆的标准方程推导过程： O 如图2、建立平面直角坐标系xOy，使x轴经过F1、F2，并且原点O与线段F1F2的中点重合。设点M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c＞0），那么，两焦点F1、F2坐标分别为（-c，0）、（c，0），再设点M与 F1、 F2 的距离的和等于常数2a（a＞c），由椭圆的定义可知，椭圆上的点的集合就是P={M||MF1|+|MF2|=2a} ∵|MF1|=，|MF2|= ∴+=2a， 将这个方程移项后两边平方，得 （x+c）2+y2=4a2-4a+（x-c）2+y2， 整理，得 a2-cx=a， 将上式两边再平方，得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2xc+a2c2+a2y2， 整理，得 （a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）， 由椭圆定义可知2a＞2c，即a＞c，所以a2-c2＞0，令a2-c2=b2，其中b＞0，代入上式，得 b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2，得 （a＞b＞0） 这个方程叫做椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为F1（-c，0）、F2（c，0），其中c2=a2-b2。 3、质疑并解决自学中存在的问题。 4、如果椭圆的焦点在y轴上，它的标准方程是什么？请同学们自己写出它的推导过程。 5、通过比较下面两个方程,大家想一想,给你一个椭圆的标准方程,你怎么确定它的焦点在X轴上还是在Y轴上? 焦点在X轴上椭圆的标准方程是（a＞b＞0） 焦点在Y轴上椭圆的标准方程是 结论：如果分母较大的分式的分子是X,那么焦点就在X轴上；如果分母较大的分式的分子是Y,那么焦点就在Y轴上。 ６、判断下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上？ ③3x2+5y2=15 【自学例题】 播放课件，给出自学提示： 给大家3分钟时间,自学学案第三页和第四页例1、例2和例3，如果有看不懂的地方，请在下面画上横线，邻近的同学相互讨论,研究解决,仍不能解决的,一会我们共同研究解决。 2、例1、求椭圆的焦点和焦距。 解：由椭圆的方程可知椭圆的焦点在x轴上，且a2=100，b2=64 ∴c==6 ∴椭圆的焦点F1（-6，0），F2（6，0），为焦距为12。 3、例2、已知椭圆的焦点在X轴上，焦距是6，椭圆上一点到两个焦点的距离的和是10，写出这个椭圆的标准方程。 解：∵2c=6，2a=10， ∴c=3，a=5， ∴b2=a2-c2=5