1元高次方程的求解.docVIP

PAGE  PAGE 5 一元高次方程 一元三次方程求解 其中是任意复数 ② 若令，则三次方程简化为 ③ 其中，， 设表示简化方程③的根，则据根与方程系数的关系，得。 若令，。 对于适当确定的立方根，卡当公式是，， 求解线性方程组，得到， 于是，原三次方程的三个根为， ，。 其中，（是虚数单位）。 C、一元四次方程求解 3. x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． 设方程为x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． (4) 移项，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，　　　 右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方． 　　 　　解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入(5)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得 　　 　　解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的． 高中阶段对于三次四次方程的求解很少涉及，我们遇到的一般是比较有规律的高次方程。当高次不等式 数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ 次方程的一般表达式是 而称为次多项式，其中。当系数 都是实数时，称是次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称 为次复系数多项式。如果存在复数，使得，就称是次方程的一 个根，或称为次多项式的一个根。 怎样得到高次方程的近似根 盛松柏 伽罗华找到了一个一元高次方程能否根式求解的判别方法，但是他还是没有给出高次程的具体求解方法。那么，如何求得高次方程的根呢？ 在一般情况下，求出精确根是很困难的，而且科学研究、工程技术季实际应用中，也没有必要求出精确根，只要求出根的近似值。那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？ 设是的一个精确根，即，假设问题所要求的精确度为，也就是 满足的，或满足的，称为的一个近似根。 下面我们介绍一下求近似根的几个常用方法： 方法一：牛顿切线法 取一个初始值，然后使用下述迭代公式 ， x y O x* f(xk-1) xk-1 f(xk) xk 其中是的一阶导数。 牛顿切线法有明显的几何意义，如右图， 因为的根满足，在直角 坐标平面中，点恰是 的曲线与Ox轴的交点，于是每次迭代所得 的点正好是曲线上点的横坐 标。牛顿切线法其实就是过曲线上的一列 点所作曲线的切线与Ox轴的交点。 方法二：牛顿割线法 在方法一中，只要给定一个初始点。而方法二中，我们给定两个初始点。然后 在每次迭代时，把作为下一次迭代的始值。 这类方法都是从已知的点通过相同的计算公式，求得下一个新点。数学上称为迭代法。迭代法很适合于计算。只要初始值选取得好，以上两种方法产生的无穷数列。 均能收敛于的根。 方法三：二分法 先将分成N等份，得到N个等长的小区间，显然每个小区间的长度。记第一个小区间为，其中，，第个小区间为，则 ，， 若对其中某些，有，则在中必有的一个根。然后对这些 再分别用二分法，便能求出的一个近似根。 二分法很简便，是工程师们喜欢的一种求全部相异近似单实根的方法。问题在于如何合适地确定N，因为N太大，则工作量也会太大，而N太小时，会出现某个小区间内包含多个根，从而二分法会将这个小区间的根漏掉。 方法四：???因子法 先用求单实根的方法，求出的一个根，利用因式分解有， 其中是（）次多项式。然后求的一个根，依次计算下去就有可能求出 的所有实根。这里所说的有可能求出的所有实根，而不是一定，是因为在一般情况下，我们只能求得等的近似值，所以有可能会影响到后面所得根的精确性。 方法五：林士谔—赵访熊法 林士谔与赵访熊是我国两位著名的数学家，在计算数学方面都有卓越的贡献。林士谔—赵访熊法是求的复数根的一种好方法。 我们知道，二次多项式的根由给出，林士谔—赵访熊法就是求的二次因式的方法。该方法建立了一套求和的迭代方法，且可以避免复数运算。一旦求得和之后，就得到了的两个根，且当时，可得到的一对共轭复根，然后再利用 ， 其中是（）次多项式，继续用同样的方法求的实根或复根。该法也是一种劈因子法。 求高次方程的根的近似值，除了以上几种方法外，还有施斗姆（Stome）法等，这里不再详说。这些方法各有优点，又不是万能的。另外，牛顿法和二分法可以用来求