信号与系统教案第3章教程.ppt

第三章 离散系统的时域分析;离散时间系统的输入输出信号关系可以用N阶差分方程描述。 LTI离散系统的时域分析，归结为：建立并求解线性差分方程。 ;（1）掌握LTI离散时间系统的差分方程求解； （2）掌握系统的单位序列响应,阶跃响应； （3）掌握卷积和的概念及计算； （4）掌握零输入响应和零状态响应的求解方法。;一、差分与差分方程;（1）一阶前向差分定义：?f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：?f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，?和?称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： ?[af1(k) + bf2(k)] = a ?f1(k) + b ?f2(k) （4）二阶差分定义： ?2f(k) = ?[?f(k)] = ?[f(k) – f(k-1)] = ?f(k) – ?f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） 前向差分与后向差分的关系: ?f(k) = ?f(k－1);2. 差分方程;3. 差??方程的数值解;二、差分方程的经典解;1. 齐次解yh(k)：对应齐次方程的解 ; λ1为r重根时，其余（n-r）个根为特征单根：;2. 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式有关。 ; ②当a是特征单根时： yp(k)=(P1k +P0)ak ③当a是r重特征根时： yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak 激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不 等于e±jβ ： yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk) ;3. 全解y(k)： ;例1：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。 ; 把特解代入差分方程得 P2k+4P2k –1+4P2k–2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0 故全解为 y(k)= yh(k)+yp(k) = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件 y(0)= C2 + 1/4= 0，y(1)= – 2(C1 +C2)+ 1/2 = – 1； 解得 C1=1 , C2= – 1/4 y(k)= (k – 1/4 ) (– 2)k + 2k–2 , k≥0;三、零输入响应和零状态响应; 2. 求初始值（由系统的初始状态） 设激励f(k)在k=0时接入系统，yzs(k) 为系统的零状态响应，k0时激励还没有接入，所以有 yzs(–1) = yzs(–2) = … = yzs(–n) = 0 而 y(k) = yzi(k) + yzs(k) 故 y(–1)= yzi(–1) , y(–2)= yzi(–2),…，y(–n)= yzi(–n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应 的初始值yzi(j)和yzs(j) ( j = 0, 1, 2 , … ，n – 1);例2：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。; 方程的特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2 ， 其解为 yzi(k)=Cx1(– 1)k+Cx2(–2)k 将初始值代入 并解得 Cx1=1 , Cx2= – 2 所以 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0 思考:能否用yzi(–1)= 0, yzi(–2) = 1/2确定系数?; yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1)