基本不等式及其应用 导学案 一轮复习 高中数学.docxVIP

高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 §7.3　基本不等式及其应用 1.基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号). (3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R). (4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大) 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2. (　×　) (2)ab≤(eq \f(a＋b,2))2成立的条件是ab0. (　×　) (3)函数f(x)＝cos x＋eq \f(4,cos x)，x∈(0，eq \f(π,2))的最小值等于4. (　×　) (4)x0且y0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充要条件. (　×　) (5)若a0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a). (　×　) (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R). (　√　) 2.当x1时，关于函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－1)，下列叙述正确的是 (　　) A.函数f(x)有最小值2 B.函数f(x)有最大值2 C.函数f(x)有最小值3 D.函数f(x)有最大值3 答案　C 3.若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是 (　　) A.a2＋b22ab B.a＋b≥2eq \r(ab) C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 答案　D 解析　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误. 对于B、C，当a0，b0时，明显错误. 对于D，∵ab0，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2. 4.设x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝2eq \r(3)，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最大值为 (　　) A.2 B.eq \f(3,2) C.1 D.eq \f(1,2) 答案　C 解析　由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a1，b1知x0，y0，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1，当且仅当a＝b＝eq \r(3)时“＝”成立，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最大值为1. 5.(2013·天津)设a＋b＝2，b0，则当a＝________时，eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)取得最小值. 答案　－2 解析　由于a＋b＝2，所以eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)＝eq \f(a＋b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)＝eq \f(a,4|a|)＋eq \f(b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)，由于b0，|a|0，所以eq \f(b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)≥2 eq \r(\f(b,4|a|)·\f(|a|,b))