20--25届全国复赛光学部分.docVIP

20—24届全国物理复赛光学部分 （20届复赛）四、(20分)如图所示，一半径为、折射率为的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．为以球心为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标． 四、参考解答 图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为和，折射光线与坐标轴的交点在。令轴上的距离为，的距离为，根据折射定律，有 （1） 在中 （2） （3） 由式（1）和式（2）得 再由式（3）得 设点到的距离为，有； 得 ； （4） 解式（4）可得 （5） 为排除上式中应舍弃的解，令，则处应为玻璃半球在光轴上的傍轴焦点，由上式 由图可知，应有，故式（5）中应排除±号中的负号，所以应表示为 （6） 上式给出随变化的关系。 因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有，其中折射光线与轴交点最远处的坐标为 （7）在轴上处，无光线通过。 随增大，球面上入射角增大，当大于临界角时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角相应的光线有 这光线的折射线与轴线的交点处于 （8） 在轴上处没有折射光线通过。由以上分析可知，在轴上玻璃半球以右（9） 的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。与就是所要求的分界点，如图复解20-4-2所示 （21届复赛）三、(15分)?子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命．宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批?子，以v = 0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N(0), t时刻剩余的粒子数为N(t)，则有，式中?为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的?子数为原来的5％，试估算?子产生处相对于地面的高度h．不考虑重力和地磁场对?子运动的影响． 三、因?子在相对自??静止的惯性系中的平均寿命 根据时间膨胀效应，在地球上观测到的?子平均寿命为?， (1) 代入数据得 ? = 1.4×10－5s (2) 相对地面，若?子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的?子数为 (3) 根据题意有 (4) 对上式等号两边取e为底的对数得 (5) 代入数据得 (6) 根据题意，可以把?子的运动看作匀速直线运动，有 (7) 代入数据得 (8) （21届复赛）L S1 S3 P ? ? S2 ? h h 四、(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明． z 如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为? =arctan的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为 L = 12.0 h处的P点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．） 1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置． 2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据． 四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中表示组合透镜的平面，、、为三个光束中心光线与该平面的交点． ＝ u就是物距．根据透镜成像公式 (1) 可解得 因为要保