1 向量的概念及向量的表示.pptVIP

;§1　向量的概念及向量的表示;3.自由向量;1、向量加法;2.向量加法的运算规律.;3.向量减法.;　　平行四边形法则.;1. 定义;结论: 设　表示与非零向量　同向的单位向量.;例1:在平行四边形ABCD中, 设AB=　　,AD =;1. 点在轴上投影;2. 向量在轴上的投影.;如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，;3. 两向量的夹角;4. 向量的投影性质.;定理3: 两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在 　　该轴上的投影的和。;即;二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示;2. 坐标面. ;1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示.;(1) 若点M在yz面上, 则 x = 0; 在zx面上, 则 y = 0; 在xy面上, 则 z = 0.;2.空间向量的坐标表示;z;(2). 起点不在原点O的任一向量 a = M1M2;a = M1M2 = (x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1);(3). 运算性质;(4) 两向量平行的充要条件.;1. 方向角: 非零向量a 与x, y, z 轴正向夹角?, ?, ? 称为a 的方向角.;??：;由(5)式可得;　　例2. 已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角.;例3: 在z轴上求与两点 A(?4, 1, 7) 和B(3, 5, ?2)等距离的点.;例4 证明以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.;§2　向量的数量积.向量积及混合积;设有两个向量 a、b, 它们的夹角为?,;注1: 当 a ? 0时, | b | cos? = Prjab;(1) 交换律 a ? b = b ? a ;证:　必要性:　设a ? b, ;如图, 利用数量积证明三角形的余弦定理;3. 数量积的坐标表示式;推论: 两个非零向量;4. 数量积在几何中的应用;(2) 求两向量 a, b 的夹角;已知三点 M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求?AMB.;由力学规定: 力F 对支点O的力矩是一个向量M .;?;向量积的性质;必要性: 设a 、b 平行, 则 ? = 0或 ? = ?. 于是;例如: ;2、向量积的坐标表示式;得公式:;求垂直于向量 a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量c.;已知?ABC的顶点分别是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求?ABC的面积.;三、两向量的混和积;则有;混合积性质：;事实上， 若? , ? , ? 在同一个平面上， 则? ? ? 垂直于它们所在的平面， 故? ? ? 垂直于 ? , 即;混合积(? ? ? ) ? ? 的绝对值等于以 ? , ? , ? 为棱的平行六面体的体积 V 的数值。;例5:;所以，