《数学物理方法》课程1.ppt

主讲教师:冉扬强;第一章 复数与复变函数 ;主要内容;重点和难点; 第一节 复数 1、复数　一个复数可表示为 其中 x, y 为实数，分别为复数z 的实部与虚部，记为x =ReZ, y=ImZ; ( 即 ) 为虚单位。复数的上述表示称为复数的代数式。 讨论：1)实部为零的复数 称为纯虚数,虚部为零的复数 z = x 称为实数。全体实数只是全体复数的一部分.　2)若实部x = 0 , 虚部y = 0 , 则 z = 0 ——复数零. 即: ;2、复数的四则运算 1)相等: 2)和差: 3)积: 4)商:　　 从复数的运算法则的定义中很明显的得出复数运算的交换律、结合律和分配律，即 交换律： 结合律： ;分配律： 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 3、复平面 如果把 x 和 y 当作平面上 的点的坐标，复数z 就跟平 面上的点一一对应起来， 这个平面叫做复数平面或 z平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. ; 在复平面上，从原点到点 z 所引的矢量与复数 z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. ; 4、复数的三角形式和指数形式　用极坐标r,θ代替直角坐标x和y来表示复数z.有　　　　　　　　　 则复数ｚ可表示为：　　　　 ——三角式 利用欧拉公式： ，复数ｚ可表示为： ——指数式 叫做复数ｚ的模，θ称为复数ｚ的幅角，记为Ａrg z; 讨论：i). 复数的幅角不能唯一地确定. 如果 是其中一个幅角，则 也是其幅角，把属于 的幅角称为主值幅角，记为 arg z.　ii). 复数“零”的幅角无定义，其模为零.　iii). 当r=1时, 称为单位复数. 利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：　　　　　　　　　　　　　 所以有 ; 根据图1.1，图1.2，图1.3 还可以得出三角不等式　　　　　　　　　　　 5、共轭复数　一个复数 的共轭复数为 或; 称ｚ与 复数共轭. 性质： 6、复数的乘幂与方根　　非零复数ｚ的整数次幂为; 当r ＝１时 上式为棣摩弗公式. 非零复数ｚ的整数次根式 为　　　　　 k=0,1,2,…，n-1.　讨论：给定的 可以取n个不同的值，它们沿中心在原点，半径为 的圆周而等距地分布着. ; 第二节 复变函数的基本概念 1、区域与约当曲线(1)、区域的定义：设有非空点集D，如果满足：①开集性：在D中的每一点z ，都必有以z 点为圆心的一个充分小的圆全含于D内(即圆内的每点都是D内的点). ②连通性：D内任意两点都可以用一条由D内的点所构成的折线连接. 则称D为区域（图1.4）(2)、邻域：邻域是区域最简单的例子，所谓点a 的 邻域，是指满足 的点; 所组成的集合.即以a为