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空 气 动 力 学 学 报 第 卷 第 期 ， 年 月 ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 文章编号： （ ） 三点五阶优化广义紧致格式 沈孟育，牛晓玲 （清华大学工程力学系，北京 ） 摘 要：根据两种差分格式色散误差目标函数对三点五阶广义紧致格式进行了优化。理论 分析及数值实验证明了优化方法的正确性与有效性。该方法具有普遍意义，可以推广用来确 定其它各阶精度的广义紧致格式的系数。并且利用类似的思想，可以通过其它限制条件对紧 致格式进行优化。 关键词：色散误差；三点五阶广义紧致格式；优化 中图分类号： 文献标识码： 引 言 许多物理现象中存在变化范围很大的空间和时间尺度，湍流流动就是一个常见的例 子。对这些多尺度物理现象的直接数值模拟要求所有有关尺度在数值计算中都能被适当 地体现出来，这就对计算方法提出了很高的要求。例如，在湍流的大涡模拟（ ）和直 接数值模拟（ ），计算电磁学（ ）和计算气动声学（ ）中，高精度和高分辨率的 要求已成为技术发展中的一个决定性因素。因此高精度、高分辨率计算格式的研究具有 十分重要的意义。 在多尺度物理现象（如湍流）的直接数值模拟中，已经发展了谱方法。但是谱方法只 能用来计算具有简单边界条件（如流向的周期性边界条件）的简单区域内的湍流流动。为 了克服谱方法的上述不足，近年来出现了使用高阶差分格式和谱元法来做 的研究工 ［ ］ 作。 指出 ，基于 方法的高阶紧致差分格式不仅比传统的有限差分格式 具有较少的格式点数，而且能较好地体现较短的长度尺度，具有类似于谱方法的高分辨 率，同时还克服了谱方法难于履行复杂边界条件的不足。在国内，马延文、傅德薰提出了 超紧致格式［ ］，我们将紧致格式作了推广，提出了广义紧致格式［ ］，并利用它构造了高阶 ［ ］ ［ ］ ［ ］ 型格式 和高精度三点有限谱方法 。张涵信、庄逢甘 提出了建立高阶精度差分 格式时必须满足的“抑制波动原则”和“稳定性原则”。上述紧致格式、超紧致格式以及广 义紧致格式具有格式点数少和分辨率高的优点，但它们都不满足“抑制波动原则”，在数值 计算中可能出现虚假的非物理数值波动，并可能被误认为是湍流。另外，对于大多数高精 度格式而言，随着格式精度阶数的提高，格式点数也随之增加，导致边界条件处理困难，以 及毗邻边界的内点处不得不降低格式的精度。 在文献［ ］中，本文作者提出了构造高精度、高分辨率广义紧致格式的一条新途径。 收稿日期： ； 修订日期： 作者简介：沈孟育（ ），男，教授，博士生导师。 空 气 动 力 学 学 报 第 卷 用此途径构造的格式能满足保证格式具有某些所希望性能的一些原则和要求，如抑制波 动原则，稳定性原则，精度阶数和格式点数等。文献［ ］中还构造了满足抑制波动原则 和稳定性原则的三点三阶广义紧致格式。后来又进一步构造了满足抑制波动原则和稳定 性原则的三点五阶广义紧致格式［ ］。数值实验表明这些格式具有很好的激波捕捉能力。 本文是对上面所述三点五阶广义紧致格式的进一步研究。由于所补充的两个关系式 中有 个待定系数，在推导格式过程中提出的简化条件，加上精度要求、稳定性原则及抑 制波动原则，共有 个约束条件，最后还有两个自由参数。因此，我们