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九、分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 分类原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。 分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体 → 确定分类标准，正确进行分类 → 逐步进行讨论，获取阶段性结果 → 归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a1 D. 0a1 若a0且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。 A. p＝q B. pq C. pq D.当a1时，pq；当0a1时，pq 函数y＝＋＋＋的值域是_________。 若θ∈(0, )，则的值为_____。 A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1 函数y＝x＋的值域是_____。 A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2] 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。 A. B. C. D. 或 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。 A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定 Ⅱ、示范性题组： 例1. 设0x1，a0且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1＋x)|的大小。 【分析】 对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。 【解】 ∵ 0x1 ∴ 01－x1 , 1＋x1 当0a1时，|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)0; 当a1时，|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝… 由①、②可知，… 例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. CA∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。 【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。 【解】 C·C＋C·C＋C·C＝1084 【另解】（排除法）： 【注】本题是“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求。并且要确定C中元素如何取法。 例3. 设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 ①. 证明： lgS； ②.是否存在常数c0，使得＝lg（S－c）成立？并证明结论。(95年全国理) 【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。 【解】 设公比q，则a0，q0 ①． … ②. 要使＝lg（S－c）成立，则必有(S－c)(S－c)＝(S－c), 分两种情况讨论如下： 当q＝1时，S＝na，则 (S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n＋2)a－c]－[(n＋1)a－c]＝－a0 当q≠1时，S＝，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][ －c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)] ∵ aq≠0 ∴ a－c(1－q)＝0即c＝ 而S－c＝S－＝－0 ∴对数式无意义 由上综述，不存在常数c0, 使得＝lg（S－c）成立。 【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明logS 。 例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类。（概念、性质型） 例4. 设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围。  1 4 x 1 4 x 【分析】 含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题，先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论。（也属数形结合法） 【解】当a0时，f(x)＝a（x－）＋2－ ∴ 或或 ∴ a≥1或a1或φ 即 a； 当a0时，，解得φ； 当a＝0