2010年全国卷Ⅱ第17题的教学实录与反思.docVIP

PAGE  PAGE 7 2010年全国卷Ⅱ第17题的教学实录与反思 甘肃省景泰县第二中学 柏红香 邮编；730400 高考成绩揭晓后，我们学校考生普遍数学成绩不如往年理想。笔者高一正复习正余弦定理的应用，为了让高一学生零距离地体验高考，我给学生留了今年全国卷Ⅱ（文理科相同）的第17题：在ABC中，D为边BC上的一点， BD=33，sinB=，cosADC=，求AD。 原计划下次上课稍加点拨之后再复习其它内容，但下次课一开始，我便毫不犹豫地放弃了原来的教学计划。我在教室里随机抽查了几位同学的解法，让我大开眼界，解法丰富多彩，以致这节课成为同学们展示成果的最佳时机。 一、教学过程： 师：课前我们留给大家今年全国卷Ⅱ的一道高考解答题，这是一道起点低，入口宽、思路广，容易得分的题目。解决这个问题，同学们有哪几种解法，在求解过程中有哪些感悟。 生1：（程度中上，爱好数学）我有两种解法，解法1：先画图形，如图1，由cosADC=﹥0知角B为锐角，由已知得cosB=，sinADB=sinADC=，cosADB=-,从而sinBAD=sin（B+ADB）=sinBcosADB+cosBsinADB=×（-）+×=，再由正弦定理得=，代入解得AD=25。 B C D A 图(1) A 解法2：可借助直角三角形中边角关系进行求解，如图2，过A作AEBD于点E，在RtADE中，由于cosADE=,所以可设DE=3K，则AE=4K，AD=5K，（K﹥0），由cosADC=﹥0，知B为锐角，又sinB=，所以tanB=,于是有=，解得k=5，所以AD=25。 E B C D 图(2) 师：非常好！解法1用正弦定理、诱导公式、两角和公式，推理严谨，步步有据，解法自然大方。解法2抓住直角三角形中边与角的特点，作辅助线，引进字母k表示各边，列出k的方程，构思绝妙，运算优美。请给同学们谈谈当初你怎么想到这种解法? 生1：由于cosADC=，sinB=，联想到两组勾股数3，4，5和5，12，13，试着作辅助线，构造直角三角形，用字母k表示相关的边又易求tanB=，也可表示为,即可列出方程。 师：冰冻三尺，非一日之寒！好的方法来自平时的总结和积累，哪位同学有不同的解法？请补充。 生2：我也有两种解法，但第一种解法和生1的解法思路大体相同，只是求sinBAD，我是这样做：即sinBAD=sin(ADC-B)展开代值。我还有一种解法： D A E 解法3：如图3,建立如图所示的坐标系，过A作AEBC，垂足为E，由于cosADC=﹥0，知B为锐角，由sinB=，可设A（12k,5k）,(k﹥0)，由已知D（33，0），在RtADE中，由cosADE=，得tanADE=，从而DE=12k-33，所以=，解得k=4，因此AD=25。 B C 图(3) 师：解法干脆利落，与生1的解法2有异曲同工之妙，将坐标、方程有机结合在一起，让人回味无穷，等高二大家学习了直线方程后，也可设A（），写出直线AB、AD的方程联立求解，同学们还有不同的解法吗？ 生3：利用向量的投影解 解法4：在图2中，设DA=，BA=，向量在在上的投影为 cosADC，向量在上的投影为cosB，由图可知， cosB=BD+ cosADC， 即=33+。 ①又因为，在上的投影相同，得 cos∠BAE= cosDAE，即= ② ①÷② 解得=25 （顿时，教室里爆发出热烈的掌声，大家为生3的解法惊讶，令人叫绝！） 师：生3能联想到用向量的投影求解，解法耳目一新。向量是高中数学里非常重要的一个内容，它几乎与所有的高中数学内容都能交汇，应引起大家的重视，还有别的解法吗？ 生4：我想用向量的夹角公式求，如图4： A 解法5：以D为原点，BC边所在直线为轴，建立如图所示的坐标系，由已知cosADC=，可设A（3k,4k）（k﹥0），又由BD=33，得B（-33，0），=（3k+33，4k），=（33，0），由已知可得B为锐角，cosB=，由向量的夹角公式得，cos，=，即=解得k=5，所以AD=25 B D C 图(4) 师：解法漂亮！，能将解析几何、向量、方程的思想有机渗透在一起，真正体现了向量的工具性作用，哪位同学还想说说你的想法？ 生5：老师，我有一种想法，不知对不？ 师：（鼓励学生发言）试试看，错了也没关系。 解法6：在图（1）中，设AD=，AB=，已知BD=33，cosADC=，sinB=，在RtABD中，由余弦定