美国高中数学测验 AMC12之机率问题(下).doc

美国高中数学测验 AMC12之机率问题(下) 洪伟诚 . 李俊贤 . 蔡诚祐 . 何家兴 . 张福春 关键词：? HYPERLINK /index.php?action=class=wenkuk=%E9%AB%98%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6 高中数学 几何机率 前述两节的问题皆建立在样本点个数为可数时的情况,接下来将介绍一不可数的无穷样本空间S且利用此空间的一些几何测量m(S),例如长度、面积、或者体积,来求A事件的机率。而A事件的机率可用A事件之几何测量与样本空间S之几何测量的比例来计算,其形式有下列三种: P(A)=A的长度S的长度?或?P(A)=A的面积S的面积?或?P(A)=A的体积S的体积 注:我们必须假设一不可数无穷样本空间S满足均匀性质,这样才能做以上的几何机率。 几何测量—长度 所谓长度的几何测量,表示其无穷样本空间可用一线段、数线或是时间轴?等表示,则考虑某事件的机率时,只需探讨此事件所占的线段(或数线)与样本空间相对的长度比值即可,下 列为利用长度测量来求的机率问题。 例1.(1972 AMC12 #17) 随机将一条线切为两段,试问较长的一段至少是较短的一段的x倍(其中x?1)的机率为多少? (A)12 (B)2x (C)1x+1 (D)1x (E)2x+1 解:(E)假设线段AB被切为两段,若较长一段(标记为l1,长度为sx)为较短一段(标记为l2,长度为s)的x倍,则线段AB总长度为(x+1)s,因此切点会落于l2中的机率为\dfrac{1}{x+1}。但因线段的切法可能为(l1,l2)或是(l2,l21)两种情况,如下图 故所求机率为2x+1。 例2.(2007 AMC12B #13)有一交通号志以下列的循环重复的运作:绿灯30秒,然后黄灯3秒,之后再转红灯30秒。利亚随机挑选三秒钟的区间去注视号志灯,试问号志灯在转换颜色时,利亚正在注视的机率为多少? (A)163 (B)121 (C)110 (D)17 (E)13 解:(D)由题意知,交通号志运作一循环需时63秒,而若利亚所注视的时间在当绿灯转变为黄灯、黄灯转变为红灯或红灯转变为绿灯的前三秒钟内,则利亚会看到号志颜色正在转变,如下图所示 故所求机率为 3+3+363=963=17 例3.(2009 AMC12B #18) 瑞吉儿与罗伯特在一圆形的跑道上跑步,其中瑞吉儿以逆时钟方向跑且跑完一圈需时90秒,而罗伯特以顺时钟方向跑且跑完一圈需时80秒。此两人同 时在同一起跑线起跑,有一站在跑道内的摄影师,以起跑线为中心线,对14的跑道做拍照,试问在两人起跑后的10分钟到11分钟间,照片会同时拍到此两人的机率为何? 解:(C)?因瑞吉儿跑一圈需要 90 秒, 所以当在第十分钟的时候, 她已经跑了?623?圈, 为下图标 示之位置, 则其进入到离开摄影师的拍照范围时间为第十分钟的 18.75 秒到第十分钟的 41.25 秒 (以”??” 表示瑞吉儿); 而罗伯特跑一圈需要 80 秒, 所以当在第十分钟的时候, 他已经跑了712?圈, 为下图标示之位置, 则其进入到离开摄影师的拍照范围时间为第十分钟的 30 秒到第十分钟的 50 秒 (以”---” 表示罗伯特)。 所以在第十分钟第 30 秒到第 41.25 秒此两人皆在此拍摄区域内, 故所求机率为 41.25?3060=11.2560=316 几何测量—面积 面积的几何测量,表示其无穷样本空间可用平面区域来表示,其样本点皆落于区域中,则考虑某事件的机率时,只需探讨此事件所占的区域与样本空间的区域相对面积比值即可,下列为利用面积测量来求的机率问题。 例4.(2001 AMC12 #17) 已知五边形ABCDE的顶点为A(0,2),B(4,0),C(2π+1,0),D(2π+1,4)及E(0,4),现从这五边形内部中任取一点P,试问∠APB是钝角的机率为多少? (A)15 (B)14 (C)516 (D)38 (E)12 解:(C)?以A,B为直径画一半圆,若点P落于此半圆内,会使得∠APB为钝角,如下图斜线部分 因为ABˉˉˉˉˉ=25√,所以圆半径为5√,故所求机率为 半圆面积(斜线部分)ABCDE面积=12(5√)2(2π+1)?4?12?4?2=52π8π=516 例5.(2002 AMC12B #18) 由(0,0),(2,0),(2,1),(0,1)四点所围的四边形中任选一点P,试问P到原点的距离小于P到(3,1)的距离的机率为多少? (A)12 (B)23 (C)34 (D)45 (E)1 解:(C)?设O(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1),Q(3,1),连接线段OQˉˉˉˉˉ,并做OQˉˉˉˉˉ之中垂线l,如下图所示 因为在l上任一点到O与Q点