线性代数在机械与动力工程中的简单运用.docxVIP

线性代数在动力机械工程领域中的应用 院系：能源动力学院 学号：201364180 姓名：董书金 在机械工程领域复杂线性方程组的数值求解是经常遇见的问题，而且机械工程中的一些多解问题，例如机构转配构型，机器人机构树状解和设计方案的多解问题等，常常需要线性代数中线性方程的一些理论求解。并且线性代数中的公式通用于能淬火硬化的各种碳素钢及合金钢。实际上,这些方程可以当作是一种定量尺度,广泛用于设计或选择钢种、制定或修订标准、控制熔炼成分等方面。现代飞行器外形设计，这个就需要先研究飞机表面的气流的过程。把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方??。结合高等代数广泛用于研制和提供能量转换机械，包括将热能、化学能、原子能、电能、流体压力能和天然机械能转换为适合于应用的机械能的各种动力机械，以及将机械能转换为所需要的其他能量的能量变换机械。 一、线性方程数据处理在理工科学习中的基础运用 用于计算多元或者单元复杂结构极限（线性代数原理运用软件：MATLAB），解放人工计算无法解决计算的复杂问题。 其计算原理用于求解导数，多元函数的偏导数，定积分，多重积分，进而解决实际运用中计算不规则曲面，形体的面积，体积等，并用于航空器外壳，船舶形体量，汽车制造，精密机械制造等工程设计中。 1.描述n阶线性时不变（LTI）连续系统的微分方程为 n≥m 已知y及其各阶导数的初始值为y(0)，y(1)(0)，…，y(n-1)(0)，求系统的零输入响应。 解：当LTI系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程等号右端为0），其形式为（设特征根均为单根） 其中p1，p2，…，pn是特征方程a1?n+a2?n-1+…+ an?+ an+1 =0的根，它们可用roots(a)语句求得。各系数C1，…，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有 C1+ C2+…+Cn = y0 y0 = y(0) p1C1+ p2C2+…+ pnCn=Dy0 (Dy0表示y的导数的初始值y(1)(0)) ………………………………… 写成矩阵形式为 即 V·C = Y0 ， 其解为 C =V \ Y0 式中 V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵库中有vander函数可直接生成。 （参考文献： 郭龙先，张毅敏，何建琼.高等代数[M].北京：科学出版社，2011） 用于求解多元线性，非线性方程或多解，方程的根，求和与级数求和，极值点，概率论问题模拟分析等问题，进而运用于天气预测，流体力学分析，经济学最优解，机械最优结构，空气动力学等多领域中。 1.在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度. 图8 一块平板的温度分布图 【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T1, T2, T3, T4. T1 T2 T3 T4 100 80 90 80 60 50 60 50 图9 一块平板的温度分布图 【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组 【模型求解】将上述线性方程组整理得 . 在Matlab命令窗口输入以下命令 A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100]; x = A\b; x’ Matlab执行后得 ans = 82.9167 70.8333 70.8333 60.4167 可见T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167. （参考文献： 陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16.） 其计算原理用于平面解析几何分析，线性模拟计算，非线性多方向定向求解等复杂数学数据处理过程，进而用于平面设计，立体结构分析及结构优化，物理复杂受力求解，航天模拟，电路设计优化，发动机设计，能量转换优化等众多能源动力学领域中。 1.设平移变换为 (x, y) ? (x+a, y+b) 旋转变换(绕原点逆时针旋转?角度)为 (x, y) ? (xcos? ? ysin?, xsin? + ycos?) 放缩变换(沿x轴方向放大