实验三解线性方程组的迭代法.docVIP

实验三 解线性方程组的迭代法 3.1实验目的  = 1 \* GB3 ① 掌握解线性方程组的雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法；  = 2 \* GB3 ② 培养编程与上机调试能力. 3.2算法描述 3.2.1迭代法的基本思想 根据方程组设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一初始向量代入迭代公式，求出，再以代入同一迭代公式，求出，如此反复进行，得到向量序列.当收敛时，其极限即为原方程组的解. 3.2.2雅可比（Jacobi）迭代法解方程组 设方程组的系数矩阵对角线元素，为最大迭代次数，为容许误差. 雅可比（Jacobi）迭代法解方程组算法步骤如下：  = 1 \* GB3 ① 取初始向量，令.  = 2 \* GB3 ② 对，计算 .  = 3 \* GB3 ③ 如果，则输出，结束；否则执行 = 4 \* GB3 ④  = 4 \* GB3 ④ 如果，则不收敛，终止程序；否则，转 = 2 \* GB3 ② 3.2.3高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 在雅可比（Jacobi）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解.基于这种设想构造的迭代公式称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法. 算法可相应地从雅可比（Jacobi）迭代法改造得到. 3.3实验题目及参考结果： 题目 应用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法解线性方程组 参考结果： 雅可比迭代法迭代次数20次，结果如下： 3.4实验要求： （1）设计出雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法的算法程序，在达到相同精度的情况下，比较其迭代次数和CPU时间；反复选取不同的初值，比较并分析其结果。 （2）利用Matlab求方程组的解步骤如下： 调用格式： %得到线性方程组的解向量 Matlab6.1环境下操作如下： ; %输入系数矩阵 ; %输入常数项 %方程组求解 代码： A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6]； b=[8;21;1]； x=A\b 输出结果：x = 1 2 -1 雅可比（Jacobi）迭代法： function[x,n] =jacobi(A,b,x0) eps=1.0e-6; D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=x0; n=0; tol=1; while tol=eps x=B*x0+f; n=n+1; tol= norm(x-x0); x0=x; end end 输出结果：A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6]; b=[8;21;1];x0=[1,1,1];[x,n] =jacobi(A,b,x0) x = 1.0000 2.0000 -1.0000 n = 19 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 function [ x,n ] = gaussseidel(A,b,x0 ) D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=x0; n=0; for i=1:20 x=G*x0+f; n=n+1; x0=x; end end 输出结果 ： A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6]; b=[8;21;1];x0=[1,1,1];[ x,n ] = gaussseidel(A,b,x0 ) x = 1.0000 2.0000 -1.0000 n = 10 选取同样的初值，在同样的精度要求下得到最终的结果雅克比迭代法迭代了19次，而高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法迭代了10次，效率明显高于雅克比迭代法。