分布列、期望及方差.docVIP

高三第一轮复习 离散型随机变量及其概率分布 及其概率分布 知识归纳 1．随机变量 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X随试验结果的不同而变化，那么变量X叫做随机变量． (2)如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型 随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量X所有可能取的不同值为x1、x2、…、xi、…、xn，X取每个值xi(i＝1,2，…n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的分布列(或概率分布)． X的分布列也可简记为： P(X＝xi)＝pi，i＝1、2、…、n. (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0，i＝1,2，…n； ②p1＋p2＋p3＋…pn＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 （3）E(X)＝x1p1+x2p2+…+xnpn为随机变量 X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平 （4）D(X)＝eq \i\su(i＝1,n,[)xi－E(X)]2pi＝(x1E?)2p1+(x2E?)2p2+…+(xnE?)2pn 为随机变量X的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小． 方差D(X)的算术平方根eq \r(D?X?)叫做随机变量X的标准差，记作σ(X)． （5）设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 Y＝aX＋b， 则 E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b， D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X) 3．二点分布 如果随机变量X的分布列为 X10Pp1－p其中0p1，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布． E(X)＝p ，D(X)＝p(1－p) 4．超几何分布 设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率P(X＝m)＝ (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)， 称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布． 5．条件概率 设A、B为两个事件，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条??概率，公式：P(B|A)＝eq \f(P?A∩B?,P?A?). 任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1 如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 6．事件的独立性 如果事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，则P(B|A)＝P(B)，这时称事件A与B相互独立． 如果事件A与B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B)， 对于n个事件A1、A2、…、An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件是否发生的影响，则称这n个事件A1、A2、…、An相互独立． 如果事件A与B相互独立，那么事件A与eq \x\to(B)，eq \x\to(A)与B，eq \x\to(A)与eq \x\to(B)也都相互独立 7．独立重复试验与二项分布 (1)一般地，在相同条件下重复做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验． (2)二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率都为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 此时称随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作X～B(n，p)． E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p) 解决概率问题的步骤 第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，然后把所给问题归结为某一种． 第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式． 第三步，运用公式求概率 古典概型P(A)＝eq \f(m,n)； 互斥事件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 条件概率P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)； 独立事件P(AB)＝P(A)P(B)； n次独立重复试验：P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k. 基础训练： 1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( ) A B