第6章多元函数微分学4-10(方向导数 梯度).ppt

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组;6.1.7 梯 度;一、方向导数;x;又比如, z = f (x, y), 偏导数;;表示在 (x0, y0)处沿 y 轴正方向的变化率.;　　但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率.;把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.;y;如图;设 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)的某邻域U(x0)内有定义.;　若当 X 沿 l 趋于 X0 时, 对应的函数改变量与线段X0X的长 || X0X ||的比值;x;　　1.定义中要求点 X 只取在 l 的正向上, 且 X 沿 l 趋向于X0 . ;2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在.;在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数,;3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.;从而;若 z = f (X) = f (x, y) 在点 X0 = (x0, y0) 可微, 则 z = f (X) 在 X0沿任一方向e = (cos?, cos?)的方向导数存在. e为单位向量.;证: 如图;由方向导数定义;因 f (X)在X0可微,;上式对任何?x, ?y 都成立. ;= Jf (X0) ·e ;即, 若 u = f (x, y, z) ???点 X0 = (x0, y0 , z0) 可微, ;5.方向导数的计算习例;例4 设;解;在这点的内法线方向的方向导数.;解2;解;例4 设;二、梯度 ;2 .方向导数与梯度的关系 ;3. 梯度的几何意义 ;4. 梯度的基本运算公式;的方向的方向导数，问哪个方向变化率最大？哪个 方向为0？并用梯度验证.;的方向的方向导数，问哪个方向变化率最大？哪个 方向为0？并用梯度验证.;解;内容小结;2. 梯度