江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研(二)数学试题.doc

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学Ⅰ试题 2016．5 参考公式： 圆锥的体积公式：V圆锥=，其中S是圆锥的底面积，h是高． 圆锥的侧面积公式：S圆锥=，其中是圆柱底面的半径， 为母线长． 样本数据，，… ，的方差，其中=． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知全集，，，那么 ▲ ． 2．已知，其中是虚数单位，那么实数 ▲ ． 3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162， 159，160，159，则该组数据的方差 ▲ ． 4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面 向上的概率为 ▲ ． 5．若双曲线过点，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ． 6．函数的定义域为 ▲ ． 7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的，则实数等 于 ▲ ． 8．若，，则 ▲ ． 9．若直线与圆始终有公共点，则实数的取值范围是 ▲ ． 10．设棱长为的正方体的体积和表面积分别为，，底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为，，若，则的值为 ▲ ． 11．已知函数，若（且），则实数的取值范围是 ▲ ． 12．设公差为（为奇数，且）的等差数列的前项和为，若，，其中，且，则 ▲ ． 13．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系中，设点，，，，若不等式对任意实数都成立，则实数的最大值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在△中，角的对边分别是，已知向量，，且． （1）求的值； （2）若，△的面积，求的值． 16．（本小题满分14分） 在直三棱柱中，，， 是的中点． （1）求证：平面； （2）若点在线段上，且， 求证：平面． 17．（本小题满分14分） 某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为（单位：元，）时，销售量（单位：百台）与的关系满足：若不超过，则；若大于或等于，则销售量为零；当时，（，为实常数）． （1）求函数的表达式； （2）当为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值． 18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别是，，右顶点、上顶点分别为，，原点到直线的距离等于﹒ （1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点﹒试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由﹒ 19．（本小题满分16分） 已知数列的前项和为，，且对任意的正整数，都有，其中常数．设 ﹒ （1）若，求数列的通项公式； （2）若且，设，证明数列是等比数列； （3）若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 20．（本小题满分16分） 已知函数（，是自然对数的底数），其导函数为． （1）设，若函数在上是单调减函数，求的取值范围； （2）设，若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围； （3）设，且，点（，）是曲线上的一个定点，是否存在实数（），使得成立？证明你的结论． 2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学Ⅱ（附加题） 2016．5 21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4 —1：几何证明选讲 已知△内接于，是的直径，是边上的高． 求证：． B．选修4—2：矩阵与变换 已知变换把平面上的点，分别变换成，，试求变换对应的矩阵． C．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为﹒以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆﹒若直线与圆相交于两点，求的值． D．选修4—5：不等式选讲 设为实数，求证：﹒ 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 一个口袋中装有大小相同的个白球和个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有次摸到红球即停止． （1）求恰好摸次停止的概率； （2）记次之内（含次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列． 23．（本小题满分10分） 设实数满足，且且，令．求证：． 2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空