空间两个向量的夹角并没有你想象中的那么难学解说.doc

空间两个向量的夹角并没有你想象中的那么难学 安宁市职业高级中学 张克昌 第  PAGE 11 页 共  NUMPAGES 11页 空间两个向量的夹角并没有你想象中的那么难学 作者：安宁职中教师张克昌 地址：昆畹公路34公里 邮编：650300 2010年7月 空间两个向量的夹角并没有你想象中的那么难学 安宁职业高级中学教师张克昌 【摘要】： 求空间两个向量的夹角，是中等职业学校学生学习的难点，自己的切身感受告诫我：求空间两个向量的夹角并不是你想象中的那么难学,即：空间两条直线的方向向量夹角的确定。方法是: 一、设置情境，引入课题；二、利用引例绘制空间图形，探求新知；三、灵活运用知识，举一反三：四、总结提炼：从教学出发转换到学法探究，重视对学法的探究，使教学为学生学习服务。研究当代学生的新情况，新特点，从学生的实际出发进行教学。 【关键词】： 空间向量 基 内积 夹角 习题 空间两个向量的夹角并没有你想象中的那么难学 安宁市职业高级中学教师张克昌 空间个向量的夹角，在中等职业学校教材，丘维声主编的《数学》第九章空间立体几何的学习中占有重要的地位，对空间几何的学习，起到承前启后的作用，并为后面三垂线定理、直线与平面所形成的角、二面角及几何体的学习起到铺垫作用。求空间两个向量的夹角并不是你想象中的那么难学，本文从基的确定求方向向量夹角与线段中点求方向向量夹角等方面，通过习题解析的方式进行阐述： 一、设置情境，引入公式： （一）、图中拉小车的力F，图中在大海航行的轮船的位移s，以及汽车行驶的速度移，它们有什么共同点? 它们是既有大小又有方向的量，即向量。在研究空间图形的度量关系时，需要引入空间向量、单位向量、 基 、向量夹角、空间向量的坐标运算、向量内积等，如： 基的确定：空间中取定一个基（  EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(e1))， EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(e2))， EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(e3))） 设向量  EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( a))， EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( b)) 在这个基下的单位向量坐标分别是  EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( a))＝ EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(，b))＝，则空间向量和与差的坐标为： 空间向量和 ： EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( a)) + EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( b)) 的坐标为（a1 + b1，a2 + b2，a3 + b3） 空间向量差 ： EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( a)) - EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( b))的坐标为（a1－b1，a2－b2，a3－ b3） 数乘向量： EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(λa))＝； （二）、如图所示，小李拉一辆小车，所用里F的方向与水平线夹角为300，F的大小为400N.小车水平向右移动了s=100(m)试问：小李做了多少功？ 从物理学知道，小李做的功w等于力F在小车移动方向的分量 I F l c。s 30。与小车移动的距离|s|的乘积： W=|F|cos300×|S|=400×/2×100=2000(J) 从上看到，力F做的功W等于F的大小、位移s的大小及力F与位移s的夹角的余弦的乘积。由此收到启发，抽象出向量的內积概念。 直角坐标计算内积 EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(：a))· EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( b))= a1b1 + a2b2 + a3 向量内积: EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( a)) · EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( b))=|a||b|cosa,b 向量夹角的余弦为：cos＜ EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( a)), EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( b))＞＝  EQ \f( EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( a)) · EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( b)),|a||b|) ＝ 向量的长度： E