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圆锥曲线强化训练--抛物线 班级： 姓名： 1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 其数学表达式(几何描述)：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程y2＝2px (p0)y2＝－2px (p0)x2＝2py (p0)x2＝－2py (p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离（焦准距）图形顶点O(0,0)对称 轴y＝0x＝0焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心 率e＝1准线 方程x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口 方向 向右向左向上向下焦半 径|PF|＝ x0＋eq \f(p,2)|PF|＝ －x0＋eq \f(p,2)|PF|＝ y0＋eq \f(p,2)|PF|＝ －y0＋eq \f(p,2) 【一个结论】 焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2). 【两种方法】 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)． 1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )． A．1 B．2 C．4 D．8 解析 由2p＝8得p＝4，即焦点到准线的距离为4. 答案 C 2．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( )?? A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝－12x D．y2＝12x 解析 eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y. 答案 A 3．设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是 ( )． A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x 解析 由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F(2,0)；②该抛物线的焦准距p＝4.故所求抛物线方程为y2＝8x. 答案 C 4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )． A．4 B．6 C．8 D．12 解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，可得点P的横坐标xP＝4，由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF|＝xP＋eq \f(p,2)＝xP＋2＝4＋2＝6. 答案 B 5．抛物线y2＝8x的焦点坐标是________． 解析 ∵抛物线方程为y2＝8x，∴2p＝8，即p＝4.∴焦点坐标为(2,0)． 答案 (2,0) 考向一 抛物线的定义及其应用 【例1】已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )． A.eq \f(3,4) B．1 C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4) [审题视点] 由抛物线定义将|AF|＋|BF|转化为线段AB的中点到准线的距离即可． 解析 设抛物线的准线为l，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则AB的中点到y轴的距离为eq \f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)－eq \f(1,4)＝eq \f(5,4). 答案 C 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解． 【训