中国地质大学(武汉)高等代数模拟试题四及答案.docVIP

考试名称： 高等代数模拟试题（4）答案 （高起专/专升本） 考试方式： 闭卷 学时：60 考试时间：120 分钟 总分：100 试卷共 页，请将所有答案写在答题纸相应位置上，答在试卷上不得分 填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程） （1）如果，则A，B各为 1，-2 。 （2）设四阶方阵，则的逆阵。 （3）设四阶行列式，则的值为 3 。 （4）设阶实对称矩阵的特征值中有个为正值，有为负值，则的正惯性指数和负惯性指数是 。 （5）设行矩阵，则 。 选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） （1）下列运算中正确的是（ D ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 （2）设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ） (A) 若仅有零解，则有唯一解； (B) 若有非零解，则有无穷多个解； (C) 若有无穷多个解，则仅有零解； (D) 若有无穷多个解，则有非零解； （3）设阶矩阵的行列式，是的伴随矩阵，则（ A ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 （4） 设3阶矩阵的行向量组为线性无关的，下述结论中正确的是（ A ） (A) 的3个列向量必线性无关； (B) 的3个列向量必线性相关； (C) 的秩为2； (D) 的行列式为零。 （5）设,则下列结论正确的是（ C ） (A) ； (B) 的维数是n； (C) 是子空间； (D) 不是子空间。 三、(10分)解线性方程组 解：由 得 进而有 解之得 四、(10分)已知矩阵，且，其中为三阶单位矩阵，求矩阵。 解：由可得，而，所以有 -= 五、(8分) 设阶方阵满足条件，其中是的转置矩阵，为单位矩阵。 证明的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。 证明：因为阶方阵满足条件，所以矩阵A是正交矩阵，即 由于 ，所以与有相同的特征值。 又 ， 所以 ， 即与的特征值互为倒数。 因此有 ， 即，或者 六、(8分)计算行列式的值。 解：根据行列式的性质有 七、（8分）已知二次型，通过正交变换化为标准型，求参数，并判断该二次型是否为正定二次型。 解：二次型的矩阵，所以 ， 而 ， 因此有 ，解之得 。 由于二次型的三个特征值为1，2，5，均为正，因此可断定该二次型是正定二次型。 八、(8分) 设是可逆实矩阵,证明是正定矩阵. 证明：由知，是对称矩阵．又，由于 ， 所以是正定矩阵。（其中表示矩阵的转置） 九、(8分) 假设，如果存在唯一的多项式，使得，且，试求的表示式． 解：设 =，由于，所以可设 = 又由于 ，所以 或者 再由函数的唯一性可知，必有，即，，因此有