31导数及其应用.docVIP

§3.1　导数的概念及其运算 2014高考会这样考　1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导． 复习备考要这样做　1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程． 1． 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为eq \f(f?x2?－f?x1?,x2－x1)，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为eq \f(Δy,Δx). 2． 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx). (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3． 函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx)为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′. 4． 基本初等函数的导数公式 原函数导函数f(x)＝c (c为常数)f′(x)＝__0__f(x)＝xα (α为实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos_xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax (a0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax (a0，a≠1)f′(x)＝eq \f(1,xln a)f(x)＝ln xf′(x)＝　eq \f(1,x)　f(x)＝tan xf′(x)＝eq \f(1,cos2x)f(x)＝cot xf′(x)＝－eq \f(1,sin2x)5. 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,g2?x?) (g(x)≠0)． 6． 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [难点正本　疑点清源] 1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数； (2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2． 曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 1． f′(x)是函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________． 答案　3 解析　∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 2. 如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝______. 答案　2 解析　如图可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，因此f(5)＋f′(5)＝2. 3．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________. 答案　－2 解析　由题意得f′(x)＝2