2015年新课标高考数学题型全归纳三角形中的有关问题典例例题.docVIP

PAGE  学优100网： 解三角形三角形中的有关问题 1．正弦定理： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角； ⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理： 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角； ⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 典型例题 例1. 在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及边c． 解 A1＝60° C1＝75° c1＝ A2＝120° C2＝15° c2＝ 变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 （ ） A． B． C． D． 解：B 提示：利用余弦定理 （2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ） A. B. C. D. 解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解 （3）在△ABC中，已知，，则的值为（ ） A B C 或 D 解：A 提示:在△ABC中，由 知角B为锐角 （4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是 ． 解： 提示：由可得 （5）在△ABC中，= ． 解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得 例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解：sinA＝2sinBcosC sin(B＋C)＝2sinBcosC sin(B－C)＝0B＝C sin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2 ∠A＝90° ∴ △ABC是等腰直角三角形。 变式训练2：在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状. 解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形. 例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C． 解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0， 所以sinB(sinA－cosA)＝0 ∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(－B)＝0 cos＝(－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B 得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝ ∴A＝ B＝ C＝ 变式训练3：已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为. （1）求∠C； （2）求△ABC面积的最大值. 解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得 2（－）=（a－b）. 又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==. 又∵0°＜C＜180°，∴C=60°. （2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A） =2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A =sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+. ∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=. 例4. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝ ()． (1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数； (2)求y＝的最大值与最小值． 解 (1) AG＝，∠ 由正弦定理得， ， (2) ∵∴当 当 变式训练4：在在△ABC中，所对的边分别为，，且 （1）求的值； （2）若，求的最大值； 解：（1）因为，故 （2） 又，当且仅当时， ，故的最大值是