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第 10 章 稳态热传导问题的有限元法 ;10.1 热传导方程与换热边界 ; 对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式， ; 1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。 物体表面上的温度或温度函数为已知， 或 （10-4) ; 3）给定对流换热条件，称为第三类边界条件。 物体与其相接触的流体介质之间的对流换热系数和介质的温度为已知。 （10-6） 其中h为换热系数，W/(m2 K)； 是物体表面的温度； 是介质温度。 ; 这类问题称为稳态（Steady state）热传导问题。稳态热传导问题并不是温度场不随时间的变化，而是指温度分布稳定后的状态，我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态过渡到最后的稳定温度场。随时间变化的瞬态（Transient）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三维问题的稳态热传导方程为， ;对于各向同性的材料，可以得到以下的方程，称为Poisson方程， （10-8）; 在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单元结点上只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性力学问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度场计算的一个难点。;10.2 稳态温度场分析的一般有限元列式 ;未知函数u还满足边界条件， （在 边界上） （10-11） ; 采用这种形式的近似解不能精确地满足微分方程和边界条件，所产生的误差就称为余量。;这种采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。对权函数的不同选择就得到了不同的加??余量法，常用的方法包括配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法（Galerkin method）。在很多情况下，采用Galerkin法得到的方程组的系数矩阵是对称的，在这里也采用Galerkin法建立稳态温度场分析的一般有限元列式。在Galerkin法中，直接采用试探函数序列作为权函数，取: ， 。;以二维问题为例，说明用Galerkin法建立稳态温度场的一般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程为， ;由分部积分得， ;采用Galerkin方法，选择权函数为， ;公式（10-20）是n个联立的线性方程组，可以确定n个结点的温度Ti。按有限元格式将（10-20）表示为， ;;根据单元结点的局部编号与整体编号的关系，直接求和得到整体刚度矩阵，整体方程组为，;10.3 三角形单元的有限元列式 ; ;单元内的温度分布用结点上的温度值表示为， ;假定单元内的导热系数为常数， ;单元的刚度矩阵为， ;显然，单元的导热矩阵是对称的。 如果单元的内部热源为常数，由内部热源产生的温度载荷项为， ;方便起见，把换热边界统一表示为第三类换热边界， ;;由边界换热条件生成的温度载荷向量为， ;10.4 温度场分析举例 ? 正方形截面的烟囱如图10-2所示，烟囱由混凝土建造，边长为60cm，通道的边长为20cm，混凝土的导热系数为k=1.4W/(mK)。假定烟囱内表面的温度为100℃，烟囱外表面暴露在空气中，空气的温度为30℃，换热系数为h=20W/(m2K)。计算烟囱截面内的稳态温度场。（参见，Finite Element Method Theory and Application with ANSYS, p279） ;图10-2 烟囱截面 ;图10-4 稳态温度分布 ;图10-5 热流量分布 ; 稳态温度场分布与物体的初始状态无关，那么是否与材料的导热系数相关？我们把烟囱的模型做些修改，假定烟囱壁由两层材料构成。内层材料为混凝土，外表面的截面尺寸为30cm х 30cm，烟囱通道的尺寸不变，仍为20cm х 20cm 。外层材料的导热系数为k=0.1W/(mK) ，外部表