高等数学[同济大学]课件上第6习题课.pptVIP

习题课 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、 体积、 弧长、 表面积 . 物理方面 : 质量、 作功、 侧压力、 引力、 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、 段、 带、 片、 扇、 环、 壳 等. 转动惯量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第六章 例1. 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且为最小点 . 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 证明曲边扇形 绕极轴 证: 先求 上微曲边扇形 绕极轴旋转而成的体积 体积微元 故 旋转而成的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求旋转体体积为 例4. 求由 与 所围区域绕 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 曲线上任一点 到直线 的距离为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 半径为 R , 密度为 的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度 多少功 ? 解: 建立坐标系如图 . 则对应 上球的薄片提到水面上的微功为 提出水面后的微功为 现将其从水池中取出, 需做 微元体积 所受重力 上升高度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此微功元素为 球从水中提出所做的功为 “偶倍奇零” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 h R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 求 由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 而高为 h 的球缺的体积为 半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成 体积元素: 故有 两边对 t 求导, 得 at (升) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提 对应于 微元体积: 微元的重力 : 薄层所需的功元素 故所求功为 到池沿高度所需的功. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P288 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 机动 目录 上页 下页 返回 结束