数学分析期末试题1.doc

数学分析专题研究期末试题 2002年1月 填空题（每小题3分，共18分） 1.若，则. 2.若，则. 3.设，若，有,则称为从到上的 . 4.含有 的等式叫做函数方程. 5.设，则. 6.设函数定义在开区间内，对于，有，则称是内的 函数. 单项选择题（每小题3分，共18分） 1.设，，有. A. B. C. D. 2.自然数集，是（ ） A. 有限集 B. 可列集 C. 不可列集 D. 空集 3.设定义在上，是的极小值点，则（ ） 有 C. 当时，有 D. 4.设是二元函数，且使得，则函数是（ ） A.有理函数 B. 无理函数 C. 代数函数 D. 超越函数 5.设是内的严格上凸函数，则（ ） A. 在内必取到最大值 B. 在内必取到最小值 C. 在内有 D. 前三个结论都不对 6. 在内连续可导，且，使得，则是（ ） A. 稳定点 B. 极值点 C. 拐点 D. 临界点 计算题（每小题6分，共24分） 1.设，求. 2.已知的曲线经过点，且曲线上任意点的切线的斜率是该点横坐标的2倍，求. 3.已知，求. 4.已知，求. 证明题（每小题8分，共32分） 1.设定义在上，对于任意的，有 ， 则是常值函数. 2.证明（1） (4分) (2) （4分） 3.若函数在闭区间上连续，且皆属于，则至少存在一点，使得 4.设证明 答案： 填空题（每小题3分，共18分） 1、；2、甲}，{乙}，{甲，乙}}；3、单射；4、未知函数；5、；6、上凸。 单项选择题（每小题3分，共18分） 1.D;2.B;3.C;4.C;5.D;6. A. 三、计算题（每小题8分，共32分） 1.解 因为,故有 5分 所以有 8分 2.解 由方程可得，，由得，即 8分 3.解 已知，对两端关于求导，得 4分 由 8分 4、解 已知 （1） 令，即，得 （2） （2）得 6分 即， 8分 四、证明题（每小题8分，共32分） 1、证明：对于，有 令，则得， 6分 由的任意性知，。 8分 2、证明：用表示的补集，则 = = 4分 = = 8分 3、已知在上连续，故在有最大值与最小值，从而有 4分 由介值定理，存在，使 8分 4．设，对于，我们有，即在内是严格下凸函数，故对于有 6分 代入得 8分