影院座位设计的数学模型-乐山师范学院.doc

乐山师范学院毕业论文（设计） 影院座位设计的数学模型 2002级3班 吴小刚 【摘要】：本文在平均视角越大越好的前提下，建立了一个简单的数学模型，求出了最佳视角所在位置，提出了进一步提高观众满意程度的地板设计方案。 【关键词】：视角 平均视角 模型 数学建摸 问题提出：下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角。仰角α是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β是观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角，视角的大小等于α-β，c为观众平均坐高。 a=3.9m b=2.1m d=4.5m D=19m c=1.1m 地板倾角θ=10度，问最佳位置在什么地方。 求地板线倾角 θ（一般不超过20度），使所有观众的平均满意程度最大。 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。 模型假设：1、观众的满意程度主要取决于视角α-β，越大越好。 2、观众眼睛处于同一斜面，可以在斜面的任意位置。 3、如图建立直角坐标系，设某观众的眼睛在此坐标系中的坐标为（x,y）。 模型建立：根据题目，结合模型假设，有 Y=xtan tanα= tanβ= tan (== 模型求解：（1）令f(x)=(d+x)+ 为增函数 要使tan()最大，即视角最大，只需f(x)最小，为此，我们对f(x)求导 f′(x)=1+ =1+ 令f′(x)=0 x= (0≤x≤14.5) 0≤x f’(x)0 x≤14.5 f’(x)0 因此，tan()在x=处取得最大值。 将 a=3.9,b=4.5,=10度代入上式，解得x=3.7m 综上，当地板倾角=10度时，最佳座位在离屏幕水平距离为4.5+3.7=8.2m处。 （2）假设相邻两排观众间的水平距离为1 m，那么观众所在位置的横坐标x的取值范围为0---14.5，x为整数。下面结合模型，利用VB语言编写程序，分别求出地板倾角θ=1，2，----，20度时的平均视角，从而找出使得平均视角最大的θ的值。具体程序见附录①，程序运行结果如下： 结果分析：从以上数据可看出，随着地板倾角θ的增大，平均视角也在增大。那么，这是否意味着θ=20度就是所求结果呢？当然不是，我们还得考虑如下问题：处在最后一排的观众的水平视线应该位于屏幕中线以下，否则观众就得低着头看电影了，这与实际不符。我们可用如下数学语言来描述这个问题： 假设最后一排观众所在位置的地板高为h，则由题目数据及以上分析可得h≤5-1.8/2-1.1=3m。对于此限制条件，可用VB语言描述，具体程序见附录②，程序运行结果如下： 结果分析：以上数据就是地板倾角在不同取值时，最后一排所在位置的地板高度，不难看出，当地板倾角θ=12度时，h≈3m ，最符合限制条件。 综上，地板的倾角应为12度。 敏感性分析：由于地板倾角的取值和相邻两排座位间的水平距离都是假设的，因此需要对二者（即t,x）作敏感性分析。 首先我们研究地板倾角在12度附近变化时对平均视角的影响。假设相邻两排座位间的水平距离x不变，利用VB分别求出地板倾角为11.5、12.6、----、12.4、12.5度时的平均视角，具体程序见附录③，程序运行结果如下： 结果分析：从以上数据可知，当地板倾角θ在12度附近变化时，对平均视角并无多大影响，这说明对地板倾角的假设是可用的。 下面我们研究相邻两排座位间的水平距离改变时对平均视角的影响。结合实际，间距可取为0.7m、0.8m、0.9m.假设地板倾角不变，利用VB求出不同间距所对应的平均视角，具体程序见附录④，程序运行结果如下： 结果分析：我们可以挑取某一地板倾角对应的平均视角进行比较，在此以12度为例。 Step( )Step( 1)Step(0.9 )Step(0.8 )Step(0.7 )A(12)2.9048292.9048312.9048332.65224从以上比较结果可知，相邻两排间的水平间距取0.8m为宜。 （3）首先证明如下结论： 如图所示，随着点A的下降（点A位于点C所在水平线上），α逐渐减小。 证明：cosα=≥=1- ∵随着点A的下降，a,b都在增大 ∴1-增大，即cosα增大 又∵0〈 α〈90o ∴α逐渐减小 基于以上结论，我们可以适当升高位于屏幕下边缘所在水平面以下的座位，从而增大视角和平均视角，进一步提高观众的满意程度。地板可设计如下： 值得注意的